[논문 리뷰] Data-Driven Distributionally Robust Appointment Scheduling over Wasserstein Balls

Ruiwei Jiang, Minseok Ryu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 07.

Healthcare Operations and Scheduling Optimization참고 문헌 59인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 진짜 확률 분포가 알려져 있지 않은 상황에서 서비스 시간의 불확실성과 무단 불참의 무작위성을 고려하여 단일 서버 예약 스케줄링 문제에 대해 데이터 기반의 분포로 보존 최적화(DRO) 방법을 제안한다. 서비스 시간과 무단 불참 행동의 불확실성을 경험 분포를 중심으로 한 워샤르스키 볼(Wasserstein ball)로 모델링하며, 이 방법은 진짜 모델의 최적 해로 수렴함을 보장하고, 복소정의 또는 다항 크기의 선형 프로그램으로의 타당한 재구성 가능성을 제공한다. 이는 기존 최고 수준의 방법들보다 더 뛰어난 외부 샘플 성능을 보인다.

ABSTRACT

We study a single-server appointment scheduling problem with a fixed sequence of appointments, for which we must determine the arrival time for each appointment. We specifically examine two stochastic models. In the first model, we assume that all appointees show up at the scheduled arrival times yet their service durations are random. In the second model, we assume that appointees have random no-show behaviors and their service durations are random given that they show up at the appointments. In both models, we assume that the probability distribution of the uncertain parameters is unknown but can be partially observed via a set of historical data, which we view as independent samples drawn from the unknown distribution. In view of the distributional ambiguity, we propose a data-driven distributionally robust optimization (DRO) approach to determine an appointment schedule such that the worst-case (i.e., maximum) expectation of the system total cost is minimized. A key feature of this approach is that the optimal value and the set of optimal schedules thus obtained provably converge to those of the true model, i.e., the stochastic appointment scheduling model with regard to the true probability distribution of the uncertain parameters. While our DRO models are computationally intractable in general, we reformulate them to copositive programs, which are amenable to tractable semidefinite programming problems with high-quality approximations. Furthermore, under some mild conditions, we recast these models as polynomial-sized linear programs. Through an extensive numerical study, we demonstrate that our approach yields better out-of-sample performance than two state-of-the-art methods.

연구 동기 및 목표

• 진짜 확률 분포가 알려져 있지 않은 상황에서 서비스 시간의 불확실성과 무단 불참의 무작위성을 고려하여 예약 스케줄링 문제를 해결하고자 한다.
• 분포 불확실성 하에서 가장 나쁜 경우의 기대 시스템 비용을 최소화하는 분포로 보존 최적화 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 더 많은 역사를 기반으로 데이터가 제공될수록 최적 해와 최적 값이 진짜 모델의 것과 수렴하도록 보장하고자 한다.
• 복소정의 프로그래밍과 다항 크기의 선형 프로그램을 통한 타당한 재구성 방식을 제공하여 계산상의 타당성을 확보하고자 한다.
• 기존 최고 수준의 방법들과 비교하여 외부 샘플 성능에서 뛰어난 성능을 경험적으로 입증하고자 한다.

제안 방법

• 역사적 데이터 샘플에서 유도된 경험 분포를 중심으로 한 워샤르스키 볼을 사용하여 불확실성 집합을 구성한다.
• 두 가지 스토케스틱 설정 하에서 예약 스케줄링 문제를 모델링한다: 무작위 서비스 시간 전용, 그리고 도착 시 무작위 서비스 시간을 고려한 무단 불참 포함.
• DRO 문제를 복소정의 프로그램으로 재구성하여 고품질의 정수형 프로그래밍 근사치를 가능하게 한다.
• 약한 조건 하에서 DRO 모델을 다항 크기의 선형 프로그램으로 추가 재구성하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 워샤르스키 거리의 구조를 활용하여 불확실성 집합 위에서의 최악의 기대값을 경로 기반 분해로 모델링한다.
• 불확실성 집합 위에서 최악의 기대값을 특성화함으로써 이중성 기반 접근법을 사용해 타당한 재구성 방식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워샤르스키 볼 기반의 데이터 기반 DRO 접근법이 데이터가 증가함에 따라 진짜 모델의 최적 해로 수렴하는 강건한 예약 스케줄을 제공할 수 있는가?
• RQ2 제안된 DRO 모델이 기존의 확률 프로그래밍 및 DRO 방법보다 더 나은 외부 샘플 성능을 보일 수 있는가?
• RQ3 계산상 비가용한 DRO 제약 조건을 복소정의 프로그램 또는 선형 프로그램과 같은 타당한 형태로 재구성할 수 있는가?
• RQ4 기존의 모멘트 기반 불확실성 집합에 비해 워샤르스키 불확실성 집합은 강건성 및 수렴 성질 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 DRO 모델이 다항 크기의 선형 프로그램으로 재구성될 수 있도록 하는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 표본 크기가 증가함에 따라 제안된 DRO 모델의 최적 값과 최적 스케줄이 진짜 스토케스틱 모델의 것과 수렴함을 증명할 수 있다.
• 워샤르스키 볼 기반 DRO 모델은 분포 불확실성에 대해 강건성을 확보하면서도 통계적 일致성을 유지한다.
• 복소정의 프로그램으로의 재구성은 실용적 구현을 위한 고품질의 정수형 프로그래밍 근사치를 가능하게 한다.
• 약한 조건 하에서 DRO 모델은 다항 크기의 선형 프로그램으로 변환 가능하여 표준 솔버를 통한 효율적 해법이 가능하다.
• 수치 실험 결과 제안된 방법은 두 가지 최고 수준의 방법보다 유의미하게 뛰어난 외부 샘플 성능을 달성한다.
• 이 방법은 무작위 서비스 시간과 무단 불참 행동의 영향을 효과적으로 포착하며, 무단 불참 불확실성을 간과한 모델들보다 성능이 뛰어나다.