[論文レビュー] David maps and Hausdorff Dimension

Saeed Zakeri|ArXiv.org|Dec 7, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、無限の歪度が制御された、クライアント写像の一般化であるDavid写像によるHausdorff次元の歪みを調査する。任意のα, β ∈ [0,2]に対して、次元αのコンパクト集合を次元βの集合へ写像するDavid写像が存在することを証明し、全次元2を持つJordan曲線を構成する。この曲線は共形的除去可能であることを示し、このような曲線が極めて不規則であるにもかかわらず、依然として共形的除去可能である可能性を示している。

ABSTRACT

David maps are generalizations of classical planar quasiconformal maps for which the dilatation is allowed to tend to infinity in a controlled fashion. In this note we examine how these maps distort Hausdorff dimension. We show \vs {enumerate} [$\bullet$] Given $α$ and $β$ in $[0,2]$, there exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ and a compact set $Λ$ such that $\Hdim Λ=α$ and $\Hdim ϕ(Λ)=β$. \vs [$\bullet$] There exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ such that the Jordan curve $Γ=ϕ(\Sen)$ satisfies $\Hdim Γ=2$.\vs {enumerate} One should contrast the first statement with the fact that quasiconformal maps preserve sets of Hausdorff dimension 0 and 2. The second statement provides an example of a Jordan curve with Hausdorff dimension 2 which is (quasi)conformally removable.

研究の動機と目的

• 制御された無限の歪度をもつホメオモルフィズムのクラスとしてのDavid写像が、コンパクト集合のHausdorff次元に与える影響を研究すること。
• David写像が任意の次元α ∈ [0,2]の集合を、任意の次元β ∈ [0,2]の像へ写像できるかどうかを特定すること。
• Hausdorff次元2のJordan曲線が共形的除去可能であるかどうかを調査すること。
• クライアント写像を超えて共形的除去理論を拡張するため、極めて複雑な幾何的性質を示す例を構成すること。

提案手法

• 最大歪度Kₙ ≍ √nである一連のクライアント写像φₙを構成し、それぞれがCantor型集合Σₙを所望の次元を持つ集合Λへ写像する。
• Σₙ上の面積推定を用いて、K_φ > Kである集合における指数的減少条件を確認することで、極限写像φ = lim φₙがDavid写像であることを証明する。
• David写像のためのTukiaのコンパクトネス定理を適用し、極限写像φがwell-definedなDavidホメオモルフィズムであることを保証する。
• 可測Riemann写像定理とDavidのBeltrami方程式の解法結果（|μ| > 1−εを満たすμに対して指数的減少）を用いる。
• ホメオモルフィズムfが曲線Γ = φ(𝕊¹)の外で正則であれば、f∘φはDavid写像であることを示し、fがℂ全体で正則であることを示唆する。
• f∘φが𝔻およびℂ∖𝔻̄の両方でDavid写像であることを証明し、それから補題を適用してfがℂ上で正則であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のα, β ∈ [0,2]に対して、David写像はHausdorff次元αのコンパクト集合を、次元βの集合へ写像できるか？
• RQ2 Hausdorff次元2のJordan曲線を構成することは可能か？
• RQ3 David写像による像写像下で、曲線の共形的除去性は保持されるか？
• RQ4 David写像のJacobianとHölder連続性の振る舞いは、クライアント写像とどのように異なるか？
• RQ5 曲線が単位円のDavid写像による像として得られる場合、その除去性は保たれるか？

主な発見

• 任意のα, β ∈ [0,2]に対して、写像φ: ℂ → ℂとコンパクト集合Λが存在し、dim_H(Λ) = αかつdim_H(φ(Λ)) = βを満たす。
• Hausdorff次元2のJordan曲線Γ = φ(𝕊¹)をもつDavid写像φが存在する。
• 構成された次元2のJordan曲線は共形的除去可能であり、除去性が有限長や次元<2を要件としないことを示している。
• クライアント写像とは異なり、David写像はHausdorff次元を任意に歪めるが、クライアント写像は次元0および2の集合を保存する。
• David写像の逆写像はDavid写像でない可能性があり、David写像は局所Hölder連続でないか、あるいは任意のp > 1に対してJacobianがL^p_locに属するとは限らない。
• fがφ(𝕊¹)の外で正則であれば、f∘φはDavid写像である。Davidの定理における一意性により、fはℂ全体で正則であり、像曲線の除去性が証明される。