[論文レビュー] De-Rham theorem and Shapiro lemma for Schwartz functions on Nash manifolds

Avraham Aizenbud, Dmitry Gourevitch|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ナッシュ多様体上のスワーツ関数および一般化スワーツ関数に対して、de Rham定理およびシャピロの補題の類似を確立する。スワーツ係数を備えたde Rham複体のコホモロジーは、多様体のcompactly supportedコホモロジーと同型であり、一般化スワーツ係数を備えた場合は通常のコホモロジーと同型である。これにより、ナッシュ群論的シャピロの補題を証明する：G-不変なバンドルを備えたG/H上のLie代数𝔤の係数における一般化スワーツセクションのコホモロジーは、Hの表現におけるLie代数𝔥の係数におけるコホモロジーと同型である。

ABSTRACT

In this paper we continue our work on Schwartz functions and generalized Schwartz functions on Nash (i.e. smooth semi-algebraic) manifolds. Our first goal is to prove analogs of de-Rham theorem for de-Rham complexes with coefficients in Schwartz functions and generalized Schwartz functions. Using that we compute cohomologies of the Lie algebra of an algebraic group G with coefficients in the space of generalized Schwartz sections of G-equivariant bundle over a G-transitive variety M. We do it under some assumptions on topological properties of G and M. This computation for the classical case is known as Shapiro lemma.

研究の動機と目的

• 古典的なde Rham定理およびシャピロの定理を、ナッシュ多様体上のスワーツ関数の設定に拡張すること。
• ナッシュ多様体上でのスワーツ関数および一般化スワーツ関数を係数に持つde Rham複体の定義と研究を行うこと。
• 再帰的代数的群GのLie代数𝔤の、G-不変なバンドルの一般化スワーツセクションを係数に持つLie代数コホモロジーを計算すること。
• スワーツ関数および分布の文脈における、ナッシュ版シャピロの補題を確立すること。

提案手法

• ナッシュ多様体M上のスワーツ関数を係数に持つde Rham複体DR_S(M)を導入し、そのコホモロジーがMのcompactly supportedコホモロジーと同型であることを証明する。
• 一般化スワーツ関数を係数に持つde Rham複体DR_G(M)を導入し、そのコホモロジーがMの通常のコホモロジーと同型であることを証明する。
• ナッシュ局所自明なファイブレーションF → Mに対して相対de Rham定理を構築し、相対コホモロジー束H^i_c(F→M)およびH^i(F→M)を定義し、DR_S(F→M)がH^i_c(F→M)のグローバルスワーツセクションを計算すること、DR_G(F→M)がH^i(F→M)のグローバル一般化スワーツセクションを計算することを示す。
• 相対de Rham定理を用いて、スワーツ関数におけるシャピロの補題を証明する：線形代数的群Gが可縮で、部分群Hも可縮であるとき、G-不変バンドルを備えたG/H上のLie代数𝔤の係数における一般化スワーツセクションのコホモロジーは、Hの表現におけるLie代数𝔥の係数におけるコホモロジーと同型である。
• Tarski–Seidenbergの原理およびナッシュ分割を含む半代数的幾何学の技術を用いて、ナッシュ多様体の位相的・幾何学的構造を扱う。
• 核的Fréchet空間に関する結果を応用し、ナッシュ多様体上のスワーツ関数空間の構造的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なde Rham定理を、ナッシュ多様体上のスワーツ関数の設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化スワーツ関数係数を備えたde Rham複体のコホモロジーと、ナッシュ多様体の通常のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ3 シャピロの補題を、ナッシュ多様体上のスワーツ関数および一般化スワーツ関数の文脈に拡張できるか？
• RQ4 線形代数的群GのLie代数𝔤の、G-同変バンドルのG/H上の一般化スワーツセクション空間を係数に持つLie代数コホモロジーは何か？
• RQ5 ナッシュファイブレーションの相対de Rham複体は、ファイバーのコホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• ナッシュ多様体M上のスワーツ関数を係数に持つde Rham複体DR_S(M)のコホモロジーは、Mのcompactly supportedコホモロジーと同型である。
• 一般化スワーツ関数を係数に持つde Rham複体DR_G(M)のコホモロジーは、Mの通常のコホモロジーと同型である。
• ナッシュ局所自明ファイブレーションF → Mに対して、相対de Rham複体DR_S(F→M)のコホモロジーは、コンパクトに台を持つファイバーコホモロジーの束H^i_c(F→M)のグローバルスワーツセクション空間と自然同型である。
• 同じファイブレーションに対して、DR_G(F→M)のコホモロジーは、ファイバーコホモロジーの束H^i(F→M)のグローバル一般化スワーツセクション空間と自然同型である。
• F → Mのファイバーが可縮であるとき、DR_G(F→M)の高次のコホモロジーは消え、0次のコホモロジーはM上の一般化スワーツ関数空間と同型である。
• 可縮な線形代数的群Gと可縮な部分群Hに対して、G-不変バンドルを備えたG/H上のLie代数𝔤の係数における一般化スワーツセクション空間のコホモロジーは、Hの表現におけるLie代数𝔥の係数におけるコホモロジーと同型である。