[論文レビュー] Decay bounds for non-Hermitian matrix functions

Stefano Pozza, Valeria Simoncini|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Matrix Theory and Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、フェーバー多項式級数を用いて、帯状非エルミート行列の関数の成分に対する事前decayバウンドを導出し、既知のエルミートの場合の結果を拡張する。非対角化可能な行列に対しても厳密なdecay推定を確立し、不正確なクリロフ近似の改善に応用する。数値実験により、バウンドのきつさが確認されている。

ABSTRACT

The derivation of a-priori decay bounds for the entries of functions of banded matrices is of interest in a variety of applications. While decay bounds for functions of Hermitian banded matrices have been known for some time, the non-Hermitian case is an especially challenging setting. By using Faber polynomial series we explore the bounds obtainable by extending results for Hermitian matrices to banded non-Hermitian (not necessarily diagonalizable) matrices. Several special cases are treated, together with an application to the inexact Krylov approximation of matrix function evaluations. Numerical experiments illustrate the quality of all new bounds.

研究の動機と目的

• エルミート行列から非エルミート帯状行列への行列関数のdecayバウンドを拡張すること。これは、従来、このようなバウンドが得られていなかった行列クラスである。
• フェーバー多項式級数を用いた理論的枠組みを構築し、非エルミート行列（非対角化可能でないものも含む）の関数における成分のdecayを分析すること。
• 不正確なクリロフ部分空間法による行列関数評価の効率性と正確性を向上させるために利用可能な実用的decay推定を提供すること。
• 数値実験を通じて理論的バウンドを検証し、実世界の状況においてそのきつさと適用可能性を示すこと。

提案手法

• 行列関数をフェーバー多項式展開で表現し、関数の解析性および行列の固有値スペクトルの性質を活用する。
• 複素平面上での多項式近似を用いて、非エルミート設定に適応したエルミート行列理論の技法を拡張する。
• 非正規性および非対角化可能性を考慮し、フェーバー級数を通じて数値範囲と固有値の凝集効果を分析する。
• コーシー積分公式とフェーバー多項式係数のバウンドを用いて、主要な推定を導出し、成分ごとのdecayレートを求める。
• 行列の帯状構造を活用してdecayの局所的挙動を特定し、成分別バウンドを導出する。
• さまざまな固有値スペクトル特性を持つテスト行列を用いた行列関数評価を通じて、理論的バウンドを数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート帯状行列に対して、行列関数成分のdecayバウンドを、行列が非対角化可能でない場合でも厳密に導出可能か？
• RQ2 フェーバー多項式級数は、エルミート行列のdecay結果を非エルミートの場合にどのように拡張可能か？
• RQ3 非正規性および固有値の凝集効果は、行列関数成分のdecay挙動にどのように影響するか？
• RQ4 実際の数値実験において、導出されたバウンドはどの程度きついか？また、観測された実効的なdecayと比較してどうか？
• RQ5 これらのバウンドは、行列関数の不正確なクリロフ部分空間近似の収束性と効率性をどの程度向上できるか？

主な発見

• 本稿は、フェーバー多項式級数を用いて、非エルミート帯状行列の関数に対する成分ごとのdecayバウンドを成功裏に導出し、従来のエルミートの場合の結果を拡張した。
• バウンドは非対角化可能な行列に対しても有効であり、従来の理論における主要な制限を克服した。
• 数値実験により、導出されたバウンドが鋭く、さまざまな行列タイプおよび関数においてdecay挙動を正確に予測していることが確認された。
• バウンドは、非正確なクリロフ近似におけるスパarsityパターンと切断誤差の推定に有効であることが示された。
• 理論的枠組みにより、decayは関数の解析的領域と数値範囲の幾何的性質によって支配されることを示した。
• 本手法は、大規模問題における行列関数評価のための、成分の局所化を体系的に定量化する方法を提供する。