[論文レビュー] Decay properties for functions of matrices over $C^*$-algebras

Michele Benzi, Paola Boito|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Quantum many-body systems参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$C^*$-代数に値をとるバンド行列およびスパース行列の解析関数に対して、ホロモーフィック関数計算を用いて指数的非対角成分の崩壊を確立する。主な貢献は、従来は実数または複素数行列に限られていた古典的な崩壊結果を、非可換かつ無限次元の$C^*$-代数、例えばヒルベルト空間上の有界作用素、コンパクト空間上の連続関数、およびクaternionにまで拡張したことである。行列の各成分のノルムに対する計算可能な、$n$に依存しない境界が得られる。

ABSTRACT

We extend previous results on the exponential off-diagonal decay of the entries of analytic functions of banded and sparse matrices to the case where the matrix entries are elements of a $C^*$-algebra.

研究の動機と目的

• 既知の実数または複素数行列に対する行列関数の指数的崩壊結果を、一般の$C^*$-代数に値をとる行列へと一般化すること。
• P.-L. Giscard が提起した、パrametrized および非可換設定における崩壊性質に関する問いに応えること。
• バンド行列またはスパースなエルミート行列$A$（$C^*$-代数上のもの）と解析関数$f$に対して、$f(A)$の非対角成分のノルムに対する計算可能な、$n$に依存しない境界を導出すること。
• ヒルベルト空間上の有界作用素やクaternionなどの非可換代数へ理論を拡張し、適切な代数的埋め込みを用いること。
• 量子化学、制御理論、数値解析における構造的行列関数の応用に適用可能な統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 解析関数$f$を、行列$A$のスペクトルを含む領域上で定義し、$A$を$C^*$-代数$\mathcal{A}_0$の要素をもつ$n\times n$エルミート行列とする。このとき、ホロモーフィック関数計算を用いて$f(A)$を定義する。
• スペクトル論および$C^*$-代数の性質、特に$C^*$-恒等式$\|a^*a\| = \|a\|^2$を用いて、$f(A)$の行列成分のノルムに対する境界を導出する。
• 距離$d(i,j)$（スパース構造におけるグラフ距離）を用いた形で、$\|f(A)_{ij}\| \leq C \cdot e^{-\gamma \cdot d(i,j)}$という崩壊推定式を導出する。ここで定数$C$および$\gamma$は$n$に依存しない。
• クaternion行列を$2n \times 2n$の複素ブロック行列として表現し、複素$C^*$-代数の技法を適用する。ただし、この手法では関数のクラスに制限が生じる。
• 理論的枠組みから導出された境界を基に、チェビシェフ展開による近似理論を用いて崩壊の性質を数値的に検証する。
• $\mathcal{B}(\mathcal{H})$、$C(\mathcal{X})$、および$\mathbb{H}$上の行列を用いた数値的例示を通じて、指数的崩壊の確認と理論的境界との比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素行列に限られていた行列関数の指数的非対角成分の崩壊を、一般の$C^*$-代数に値をとる行列へと拡張できるか。
• RQ2 $A$の成分が非可換または無限次元の$C^*$-代数に属する場合、$f(A)$の崩壊境界は行列サイズ$n$に依存せず一様に保たれるか。
• RQ3 クaternion行列関数は$C^*$-代数枠組み内でどのように取り扱えるか。また、これにより関数クラスにどのような制限が生じるか。
• RQ4 ホロモーフィック関数計算は、$C^*$-代数上の構造的行列関数に対して、計算可能な$n$に依存しない崩壊境界を導出する上で果たす役割は何か。
• RQ5 理論的崩壊境界は数値的に検証可能か。また、実際に観測される行列成分の崩壊と比較するとどうなるか。

主な発見

• バンド行列またはスパースなエルミート行列（$C^*$-代数の成分をもつ）の解析関数$f(A)$の非対角成分について、指数的非対角崩壊が確立された。これは、非可換および無限次元の$C^*$-代数（例えばヒルベルト空間上の有界作用素、コンパクト空間上の連続関数、クaternionを含む）に対しても成立する。
• 崩壊境界は$\|f(A)_{ij}\| \leq C \cdot e^{-\gamma \cdot d(i,j)}$の形をとり、定数$C$および$\gamma$は$n$に依存しない。これにより、行列サイズにかかわらず一様性が保証される。
• 50×50のヘルミート三重対角クaternion行列について、$\exp(A)$および$\log(A)$の非対角ブロックのノルムが指数的に急激に減少することが数値的に確認された。
• ランダムな成分をもつ$A \in \mathbb{H}^{50 \times 50}$について、$\exp(A)$の崩壊は理論的境界に従っており、$k$番目の非対角ブロックのノルムは$k$に従って指数的に減少した。
• $5 \times 5$の複素行列成分をもつ$20 \times 20$ブロック行列について、$\exp(A)$のブロックのスペクトルノルムは対角からの距離に従って指数的に減少し、理論的予測と整合的であった。
• 15項のチェビシェフ展開を用いた$f(A) = \ln(A + 5I)$の近似誤差は$1.7509 \times 10^{-14}$以下に抑えられ、関数計算アプローチの精度が検証された。