[論文レビュー] Decomposability of orthogonal involutions in degree 12

Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、判別式が自明でクラッパー不変量が自明な12次元中心単純代数の直交的対合に対してテンソル分解を確立し、それがクォータニオン代数と直交的対合をもつ6次元代数のテンソル積として分解されることを示している。これはピーフラーの古典的二次形式に関する結果を拡張し、f3不変量のコhomological計算を可能にし、このような対合の存在に関する基準と、分解成分の不変量で表したf3(σ)の公式を提供する。

ABSTRACT

A theorem of Pfister asserts that every $12$-dimensional quadratic form with trivial discriminant and trivial Clifford invariant over a field of characteristic different from $2$ decomposes as a tensor product of a binary quadratic form and a $6$-dimensional quadratic form with trivial discriminant. The main result of the paper extends Pfister's result to orthogonal involutions: every central simple algebra of degree $12$ with orthogonal involution of trivial discriminant and trivial Clifford invariant decomposes into a tensor product of a quaternion algebra and a central simple algebra of degree $6$ with orthogonal involutions. This decomposition is used to establish a criterion for the existence of orthogonal involutions with trivial invariants on algebras of degree $12$, and to calculate the $f_3$-invariant of the involution if the algebra has index $2$.

研究の動機と目的

• 12次元の二次形式で不変量が自明なもののピーフラーの分解定理を、12次元中心単純代数の直交的対合へ拡張すること。
• 12次元代数において判別式が自明でクラッパー不変量が自明な直交的対合の存在に関する基準を確立すること。
• 特に代数のインデックス ≤2 の場合に、そのような対合のf3コhomological不変量を新しい分解を用いて計算すること。

提案手法

• 6次元におけるユニタリ対合の降下定理を用いて、12次元代数上の直交的対合のテンソル分解を構成する。
• 対合を (A, σ) ≃ (A₀, σ₀) ⊗ (H, ρ) の形に分解し、H はクォータニオン代数で、(A₀, σ₀) は直交的対合をもつ6次元代数とする。
• 分解群内のクォータニオン代数のノルム形式の和に一般化されたアラソン不変量 e3 を適用する。
• 成分の不変量を用いて f3(σ) の公式を導出する。これにはウィット群の恒等式とコhomological関係を用いる。
• 関係 [Q] + [H] + [H′] = 0 を用いて、形式 nQ − nH − ⟨d⟩nH′ が I³F に属することを保証し、f3(σ) ∈ H³(F, μ₂) の定義を可能にする。
• 分解条件の下で f3(σ) と (de) · [Q] または (de) · [H′] が同値であることを確立し、計算可能な表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 判別式とクラッパー不変量が自明な12次元二次形式のピーフラーの分解が、12次元中心単純代数の直交的対合へ拡張可能か？
• RQ2 12次元代数に判別式が自明でクラッパー不変量が自明な直交的対合が存在するための条件は何か？
• RQ3 このような対合のf3コhomological不変量は、そのテンソル分解からどのように計算できるか？
• RQ4 分解 (A, σ) ≃ (A₀, σ₀) ⊗ (H, ρ) により、f3(σ) の一様な計算が可能か？また、f3(σ) が消える条件は何か？

主な発見

• 判別式が自明でクラッパー不変量が自明な12次元中心単純代数の任意の直交的対合は、クォータニオン代数の直交的対合と6次元中心単純代数の直交的対合のテンソル積に分解可能である。
• この分解により、このような対合の存在に関する基準が得られる：体 F 上の双クォータニオン代数 D が M₃(D) 上にこのような対合をもつのは、F の2次コhomological次元が2以下であるときである。
• 対合のf3不変量は f3(σ) = e3(nQ − nH − ⟨d⟩nH′) ∈ H³(F) で与えられ、d はクォータニオン因子の判別式で、H, H′, Q はブラーレクイヴァレンスなクォータニオン代数である。
• 基礎代数のインデックス ≤2 のとき、f3(σ) = (de) · [Q] = (de) · [H′] が成り立ち、e は H = (c, e) を満たし、c が Q, H, H′ をすべてスプリットするパラメータである。
• A がスプリット、A₀ がスプリット、または A₀ が F(√d₀) でスプリットするとき、不変量 f3(σ) は消える。これは明確な消滅条件を提供する。
• この公式により、分解から f3(σ) を明示的に計算可能であり、クォータニオン因子がスプリットであっても f3(σ) が必ずしも消えないことが示される。