[論文レビュー] Decomposing Coverings and the Planar Sensor Cover Problem

Matt Gibson, Kasturi Varadarajan|ArXiv.org|May 7, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、凸多角形の平行移動として定義される範囲を持つセンサーに対する平面的センサーカバー問題について、定数倍近似を達成する多項式時間アルゴリズムを提示する。まず、一様な1次元問題である制限付きストリップカバー（RSC）に対して、独自のO(1)近似法を用いて解き、その結果を高次元に一般化する。任意のk重被覆が、凸多角形の平行移動によるものであれば、Ω(k)個の被覆に分解可能であることを証明し、従来の対数的境界を著しく改善する。

ABSTRACT

We show that a $k$-fold covering using translates of an arbitrary convex polygon can be decomposed into $Ω(k)$ covers (using an efficient algorithm). We generalize this result to obtain a constant factor approximation to the sensor cover problem where the ranges of the sensors are translates of a given convex polygon. The crucial ingredient in this generalization is a constant factor approximation algorithm for a one-dimensional version of the sensor cover problem, called the Restricted Strip Cover (RSC) problem, where sensors are intervals of possibly different lengths. Our algorithm for RSC improves on the previous $O(\log \log \log n)$ approximation.

研究の動機と目的

• センサーの稼働時間と範囲が凸多角形で定義される幾何的設定におけるセンサーカバー問題に取り組む。
• 従来のO(log log log n)近似境界よりも優れた制限付きストリップカバー（RSC）問題の近似境界を改善すること。
• 凸多角形の範囲を持つ平面的センサーカバー問題に対して、定数倍近似を確立すること。
• 任意の凸多角形の平行移動によるk重被覆が、効率的なアルゴリズムを用いてΩ(k)個の互いに素な被覆に分解可能であることを証明すること。
• 長年の未解決問題としての被覆分解可能性に関する予想を強化し、多角形の複雑さに依存しない定数因子を有する分解を示すこと。

提案手法

• 被覆ギャップと臨界座標における優位性に基づいて反復的にセンサーをスケジューリングする新しいRSC問題用アルゴリズムを設計し、1/5近似を達成する。
• 未被覆区間を右または左に優先して被覆するグリーディ戦略を採用し、境界での被覆持続性を保つ方を選択する。
• 優位性基準を導入：あるセンサーが右側の座標を優位に支配するとは、その点をカバーするアクティブなセンサーの中で右端が最も遠い場合を指す。
• RSCアルゴリズムをサブルーチンとして用い、凸多角形の範囲を持つ2次元平面的センサーカバー問題への一般化を実現する。
• 任意の点における最小総稼働時間（インスタンスの負荷）が最適スケジュール時間の定数倍下限として機能することを証明する。
• 1次元の場合の証明技法を幾何学的性質（凸多角形およびその平行移動）を活用して、機械的だが注意深く2次元に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きストリップカバー（RSC）問題は、従来のO(log log log n)境界よりも優れた定数倍近似で解けるか？
• RQ2 任意の凸多角形の平行移動によるk重被覆を、効率的なアルゴリズムを用いてΩ(k)個の互いに素な被覆に分解可能か？
• RQ3 凸多角形の範囲を持つ平面的センサーカバー問題は、インスタンスの負荷に対して定数倍近似が可能か？
• RQ4 被覆分解可能性の予想を、多角形の辺の数に依存しない一様な定数因子を有する形に強化できるか？
• RQ5 センサー範囲が任意の凸多角形である場合に、センサーカバー問題の達成可能な最良の近似比は何か？

主な発見

• 提案された制限付きストリップカバー（RSC）問題用アルゴリズムは1/5近似を達成し、従来のO(log log log n)境界を著しく上回る。
• アルゴリズムはO(n²)時間で実行され、優位性と被覆ギャップに基づくグリーディで反復的なスケジューリング戦略を用いる。
• 本稿では、任意の凸多角形の平行移動によるk重被覆が、多角形にのみ依存する定数を用いてΩ(k)個の被覆に分解可能であることを確立した。
• 凸多角形の範囲を持つ平面的センサーカバー問題に対して、負荷Lに対して定数倍近似を達成する多項式時間アルゴリズムを提示した。
• 三角形や中心対称多角形に関する先行研究を一般化し、すべての凸多角形にわたってΩ(k)の分解を拡張した。
• 主な技術的革新は、2次元幾何的設定で定数倍近似を可能にするためにRSCアルゴリズムをサブルーチンとして用いた点である。