[論文レビュー] Decomposition of linear metric perturbations on generic background spacetime -- Toward higher-order general-relativistic gauge-invariant perturbation theory

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ADM分解を許容する一般の時空における線形計量摂動が、一意にゲージ不変部とゲージ変動部に分解可能であることを証明し、高次一般相対論的ゲージ不変摂動理論の基盤を確立する。主な結果は、空間的超曲面における対称テンソルに対する横断的・トレースレス分解の存在と一意性であり、共形キリングベクトルが存在する場合でさえ、直交性と可解性を保証する。

ABSTRACT

The decomposition of the linear-order metric perturbation is discussed in the context of the higher-order gauge-invariant perturbation theory. We show that the linear order metric perturbation is decomposed into gauge-invariant and gauge-variant parts on the general background spacetime which admits ADM decomposition. This decomposition was an important premise of the general framework of the higher order gauge-invariant perturbation theory proposed in the papers [K. Nakamura, Prog. Theor. Phys. vol.110 (2003), 723; ibid. vol.113 (2005), 481]. This implies that we can develop the higher-order gauge-invariant perturbation theory on generic background spacetime. Remaining issues to complete the general-framework of the higher-order gauge-invariant perturbation theories are also discussed.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における高次ゲージ不変摂動理論の厳密な基盤を確立すること。
• 線形段階でのゲージ不変分解の存在を証明することで、長年のゲージ依存性の問題を解決すること。
• 高次ゲージ不変摂動理論の一般枠組みの背後にある予想が、ADM分解の仮定のもとで正当であることを確認すること。
• 共形キリングベクトルが存在する場合でさえ、分解が一意的かつ直交的であることを保証すること。
• 任意の背景時空における一貫性のある2次以降の摂動理論の構築を可能にすること。

提案手法

• 時空のADM分解を用いて、リーマン計量 q_ab を持つ空間的超曲面 Σ を定義する。
• ベクトル場のリー微分の対称トレースレス部分を特徴付けるため、演算子 D_ab ≡ 2D_(a W_b) − (2/n) q_ab D_c W^c を適用する。
• 対称テンソル ψ_ab の横断的・トレースレス（TT）分解を、ψ_TT^ab = ψ_ab − (1/n)ψ q_ab − (LW)^ab として定義する。ここで W はベクトル場である。
• 境界項を無視することで、演算子 D^ab が自己随伴であることを確立し、方程式 D^ab W_b = S^ab の可解性を保証する。
• 部分積分を用いて、TT部がトレース部 (1/n)ψ q_ab および対称トレースレス部 (LW)^ab に対して直交することを示す。
• 共形キリングベクトルがTT分解に影響しないことを、ソース項がこれらのモードに対して直交することから証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般背景時空における線形計量摂動は、ゲージ不変部とゲージ変動部に分解可能か？
• RQ2 ADM分解のもとで、空間的超曲面上の対称テンソルに対する横断的・トレースレス分解は一意的かつ適切に定義されるか？
• RQ3 線形段階での分解が有効であれば、ゲージ不変摂動フレームワークを高次に一貫して拡張可能か？
• RQ4 共形キリングベクトルは分解方程式の可解性に干渉するか？
• RQ5 分解方程式のソース項は、微分演算子の核に対して直交しており、一意的な解が保証されるか？

主な発見

• ADM分解を許容する一般時空における線形計量摂動は、一意にゲージ不変の横断的・トレースレス部とゲージ変動部に分解可能である。
• 境界項を無視した場合、演算子 D^ab は自己随伴であり、グリーン関数の存在と分解方程式の可解性を保証する。
• 共形キリングベクトルは、ソース項がそれらに対して直交するため、TT分解に影響しない。これにより、解の一意性が保たれる。
• TT部 ψ_TT^ab は、トレース部 (1/n)ψ q_ab および対称トレースレス部 (LW)^ab に対して直交しており、分解の直交性が確認される。
• 方程式 D^ab W_b = S^ab の解は、共形キリングベクトルの加法に対して一意的であるが、TT成分には影響しない。
• この分解は摂動に対して安定しており、任意の背景時空における一貫性のある高次ゲージ不変摂動理論の構築に役立つフレームワークを提供する。