[論文レビュー] Decomposition spectrale et representations speciales d'un groupe reductif p-adique

Volker Heiermann|ArXiv.org|Dec 21, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、ヘイエルマン（2001）のフーリエ逆変換公式を用いて、再帰的 $p$-進群のスペクトル分解を確立する。可解表現の cuspidal 支持に属するリーマン部分群 $M$ の cuspidal 表現が、平方可積分表現の cuspidal 支持に属するための必要十分条件は、ハリシュ・チャンドラの $\mu$-関数の極が $M$ のパラボリックランクと等しい位数を持つことである。これらの極は最大位数であり、十分性は $\mu$-関数の組み合わせ的性質に帰着され、オプダムの結果から従う。

ABSTRACT

Let G be a reductive connected p-adic group. With help of the Fourier inversion formula used in [Une formule de Plancherel pour l'algebre de Hecke d'un groupe reductif p-adique - V. Heiermann, Comm. Math. Helv. 76, 388-415, 2001] we give a spectral decomposition on G. In particular we deduce from it essentially that a cuspidal representation of a Levi subgroup M is in the cuspidal support of a square integrable representation of G, if and only if it is a pole of Harish-Chandra's μ-function of order equal to the parabolic rank of M. This result has been conjectured by A. Silberger in 1978. In more explicit terms, we show that this condition is necessary and that its sufficiency is equivalent to a combinatorical property of Harish-Chandra's μ-function which appears to be a consequence of a result of E. Opdam. We get also identities between some linear combinations of matrix coeffieicients. These identities contain informations on the formel degree of square integrable representations and on their position in the induced representation.

研究の動機と目的

• ヘイエルマン（2001）のフーリエ逆変換公式を用いて、再帰的 $p$-進群のスペクトル分解を確立する。
• ハリシュ・チャンドラの $\mu$-関数の極を用いて、平方可積分表現の cuspidal 支持を特徴付ける。
• このような cuspidal 表現が、リーマン部分群のパラボリックランクと等しい位数の $\mu$-関数の極であることを証明する。
• これらの極の最大位数が、オプダムの $\mu$-関数に関する結果から従うことを示す。
• 行列係数の線形結合間の恒等式を導出し、形式的次数および誘導表現内の位置に関する情報を抽出する。

提案手法

• ヘイエルマン（2001）のフーリエ逆変換公式を $G$ に適用し、スペクトル分解を実行する。
• コーシー積分公式を用いて、ペーリ・ウィーナー空間内の積分を計算し、留数を分離するために contour をシフトする。
• 寄与項を、その cuspidal 支持が軌道 $\mathcal{O}$ と一致する、無限可解表現から生じる項として特定する。
• $\mu$-関数の極とスペクトル分解を関連付け、 contour シフト後に $\mu$-極以外の項は消えることを示す。
• 行列係数を intertwining 演算子を用いて表現するための多項式写像 $\xi_{\varphi_{P,\mathcal{O}}}$ を利用する。
• 行列係数の線形結合間の恒等式を確立し、それらを形式的次数および誘導表現内の位置と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン部分群 $M$ の cuspidal 表現が、$G$ の平方可積分表現の cuspidal 支持に属するための条件は何か？
• RQ2 ハリシュ・チャンドラの $\mu$-関数の極の位数は、$M$ のパラボリックランクとどのように関係するか？
• RQ3 cuspidal 表現が $\mu$-関数の極であることが、$M$ のパラボリックランクと等しい位数であることは、平方可積分表現の cuspidal 支持に属するための必要十分条件か？
• RQ4 この極条件の十分性は、$\mu$-関数の組み合わせ的性質に還元可能か？
• RQ5 行列係数の線形結合間の恒等式から、平方可積分表現の形式的次数および位置に関する何が得られるか？

主な発見

• リーマン部分群 $M$ の cuspidal 表現が、$G$ の平方可積分表現の cuspidal 支持に属するための必要十分条件は、ハリシュ・チャンドラの $\mu$-関数の極が $M$ のパラボリックランクと等しい位数を持つことである。
• これらの極は、E. オプダムの結果から、最大位数であることが示された。
• 極条件の十分性は、$\mu$-関数の特定の組み合わせ的性質に同値であり、オプダムの研究からその成立が示された。
• 行列係数の線形結合間の恒等式が導出され、平方可積分表現の形式的次数に関する情報を符号化している。
• スペクトル分解において、 contour 変形後に $\mu$-関数の極からの寄与のみが残り、Plancherel 公式における中心的役割が確認された。
• 関数 $f_{\varphi_{P,\mathcal{O}}}$ に対して、留数の和としての明示的公式が得られ、Plancherel 測度および誘導表現と関連づけられた。