[論文レビュー] Decompositions of the free additive convolution

Romuald Lenczewski|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2006

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単調および自由加法的畳み込みを補助関数を介して結ぶ新しい演算である直交畳み込みを導入する。コンパクトに台を持つ測度に対して、逆コーシー変換の連分数表現を用いて自由加法的畳み込み $\mu\boxplus\nu$ の交互な分解を導出し、自由コマリントやR変換に依存せずに計算を可能にする。また、グラフ積や非可換独立性の種類との関係を確立する。

ABSTRACT

We introduce and study a new type of convolution of probability measures called the orthogonal convolution, which is related to the monotone convolution. Using this convolution, we derive alternating decompositions of the free additive convolution of compactly supported probability measures in free probability. These decompositions are directly related to alternating decompositions of the associated subordination functions. In particular, they allow us to compute free additive convolutions of compactly supported measures without using free cumulants or R-transforms. In simple cases, representations of the corresponding Cauchy transforms as continued fractions are obtained in a natural way. Moreover, this approach establishes a clear connection between convolutions and products associated with the main notions of independence (free, monotone and boolean) in noncommutative probability. Finally, our result leads to natural decompositions of the free product of rooted graphs.

研究の動機と目的

• 単調および自由加法的畳み込みを結ぶ新しい畳み込み演算「直交畳み込み」を考案すること。
• コンパクトに台を持つ測度に対して、自由加法的畳み込み $\mu\boxplus\nu$ の明示的で交互な分解を提供すること。
• 自由加法的畳み込みの計算において、自由コマリントやR変換に依存しないようにすること。
• スペクトル測度を介して、自由畳み込みとルート付きグラフ理論における積との直接的な関係を確立すること。
• 逆コーシー変換と補助関数を用いて、自由、単調、ブール畳み込みの統一的取り扱いを実現すること。

提案手法

• 補助関数を介して単調畳み込みと自由畳み込みを結ぶ直交畳み込みを定義する。
• 代数的に畳み込みを表現するため、逆コーシー変換 $F_{\mu}(z) = 1/G_{\mu}(z)$ を用いる。
• 補助関数を含む $F_{\mu}$, $F_{\nu}$ の連分数的合成を用いて、$F_{\mu\boxplus\nu}(z)$ の交互な分解を導出する。
• 補助恒等式 $F_{\mu\boxplus\nu}(z) = F_{\mu}(F_1(z)) = F_{\nu}(F_2(z))$ および $F_1(z) + F_2(z) - z = F_{\mu\boxplus\nu}(z)$ を適用する。
• 繰り返しの補助関数を連分数形式で表す $\mu \vdash_n \nu$ を用いて再帰的分解を確立する。
• $K$-変換 $K_{\mu}(z) = F_{\mu}(z) - z$ を用いて、ヤコビ数列と連分数を用いた再帰的構造を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由加法的畳み込み $\mu\boxplus\nu$ は、自由コマリントやR変換を用いずに分解可能か？
• RQ2 自由加法的畳み込み $\mu\boxplus\nu$ の補助関数は、単調およびブール畳み込みの交互な合成とどのように関係するか？
• RQ3 逆コーシー変換は、自由畳み込みを連分数として表現する上で果たす役割は何か？
• RQ4 これらの分解は、自由畳み込みとルート付きグラフのスペクトル測度とどのように関連するか？
• RQ5 直交畳み込み演算は、自由、単調、ブール畳み込みの取り扱いを統一できるか？

主な発見

• コンパクトに台を持つ測度に対して、$w$-極限による $\mu\vartriangleright(\nu\vdash_n\mu)$ および $((\mu\vdash_n\nu)\uplus(\nu\vdash_n\mu))$ を用いた自由加法的畳み込み $\mu\boxplus\nu$ の交互な分解が可能である。
• 明示的な連分数表現 $F_{\mu\boxplus\nu}(z) = F_{\mu}(z - K_{\nu}(z - K_{\mu}(z - \cdots)))$ が導出され、直接計算が可能になる。
• 平均 $\alpha$ と分散 $\omega$ を持つウィグナー測度 $\mu$ に対して、$J(\mu\boxplus\mu) = ((2\alpha, 2\alpha, \ldots), (2\omega, 2\omega, \ldots))$ が成り立ち、スペクトル二重化が確認される。
• ルート付きグラフ ${\cal G}_1 * {\cal G}_2$ の自由積は、${\cal G}_1 \vartriangleright ({\cal G}_2 \vdash ({\cal G}_1 \vdash \cdots))$ および $({\cal G}_1 \vdash \cdots) \star ({\cal G}_2 \vdash \cdots)$ として分解され、かぎょうおよびスタープロダクトと関連付ける。
• $\mu\boxplus\delta_a = \mu_a$ の分解が成り立ち、$\mu_a$ はヤコビ数列 $((\alpha_0 + a, \alpha_1 + a, \ldots), \omega)$ を持つシフト測度であり、点質量との自由畳み込みにおける平行移動不変性が示される。
• 特定の $F_{\mu}$ および $F_{\nu}$ に対して、代数的関係 $F_{\mu\boxplus\nu}(z) = F_{\mu}(F_{\nu\boxright\mu}(z)) - \alpha - \omega / F_{\nu\boxright\mu}(z)$ が導出され、簡単な場合の明示的計算が可能になる。