[논문 리뷰] Decremental SSSP in Weighted Digraphs: Faster and Against an Adaptive Adversary

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|2020. 01. 29.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 가중 방향 그래프에서 감소하는 $(1+\epsilon)$-근사 단일 소스 최단 경로에 대해 적응형 적대자에 대응하는 최초의 라스베가스 데이터 구조를 제안한다. 이는 가중 그래프의 경우 $\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$의 총 기대 갱신 시간과 비가중 그래프의 경우 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$의 총 기대 갱신 시간을 달성한다. 이는 이전의 랜덤화된 경계를 개선하며, 모든 그래프 밀도에서 더 빠른 갱신 시간을 제공한다.

ABSTRACT

Given a dynamic digraph $G = (V,E)$ undergoing edge deletions and given $s\in V$ and $ε>0$, we consider the problem of maintaining $(1+ε)$-approximate shortest path distances from $s$ to all vertices in $G$ over the sequence of deletions. Even and Shiloach (J.~ACM'$81$) give a deterministic data structure for the exact version of the problem with total update time $O(mn)$. Henzinger et al. (STOC'$14$, ICALP'$15$) give a Monte Carlo data structure for the approximate version with improved total update time $ O(mn^{0.9 + o(1)}\log W)$ where $W$ is the ratio between the largest and smallest edge weight. A drawback of their data structure is that they only work against an oblivious adversary, meaning that the sequence of deletions needs to be fixed in advance. This limits its application as a black box inside algorithms. We present the following $(1+ε)$-approximate data structures: (1) the first data structure is Las Vegas and works against an adaptive adversary; it has total expected update time $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$ for weighted graphs, (2) the second data structure is Las Vegas and assumes an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O(\sqrt m n^{3/2})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$ for weighted graphs, (3) the third data structure is Monte Carlo and is correct w.h.p.~against an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O((mn)^{7/8}\log W) = ilde O(mn^{3/4}\log W)$. Each of our data structures can be queried at any stage of $G$ in constant worst-case time; if the adversary is oblivious, a query can be extended to also report such a path in time proportional to its length. Our update times are faster than those of Henzinger et al.~for all graph densities.

연구 동기 및 목표

• 기존의 랜덤화된 데이터 구조가 오직 관찰자 무시적 적대자에 대해서만 작동한다는 한계를 해결하기 위해, 이는 복잡한 알고리즘 파ip라인에서의 활용을 제한한다.
• 가중 방향 그래프에서 간선 삭제에 대해 $(1+\epsilon)$-근사 최단 경로 거리를 유지하는 결정론적 또는 라스베가스 데이터 구조를 개발한다.
• 조밀한 그래프를 포함한 모든 그래프 밀도에서 Even과 Shiloach(1981)의 고전적 $O(mn)$ 경계를 초월하는 더 빠른 총 갱신 시간을 달성한다.
• 적대자가 관찰자 무시적일 경우, 경로 길이에 비례하는 시간 내에 근사 최단 경로를 효율적으로 조회할 수 있도록 한다.
• 정확한 SSSP의 경우 $O(mn)$ 갱신 시간 장벽을 극복하여, 정확도를 허용함으로써 정확한 계산이 불가능한 상황에서도 진행 가능함을 보여준다.

제안 방법

• 초기화된 거리 유지에 적합한 슈퍼 소스와 슈퍼 엣지를 사용한 계층적 클러스터링 기반 접근 방식을 적용한다.
• 정점의 랜덤 샘플링을 통해 활성 슈퍼 소스의 수를 제어하고 계층의 기대 깊이를 로그 수준으로 유지한다.
• 부모 포인터와 구조적 구성요소($\mathcal{ES}(s')$)를 사용해 동적 숲 형태의 최단 경로 트리를 유지하며, 갱신과 경로 복원을 효율적으로 지원한다.
• 다양한 데이터 구조 구성 요소 간의 트레이드오프를 균형 잡기 위해 $d$, $D'$, $\delta$, $\rho$를 매개변수로 사용한 분석 기법을 적용한다.
• 기대 처리 시간 경계에서 유도된 제약 조건 하에 매개변수를 최적화하여 총 갱신 시간을 최소화하며, 다항로그 인자를 무시하기 위해 $\tilde{O}$ 표기법을 사용한다.
• 각 정점과 간선이 기대적으로 $O(\log n)$개의 구조에 의해 처리됨을 보여주는 확률적 추론을 통해 정확성을 확보한다. 이는 낮은 기대 갱신 비용으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적응형 적대자에 대응하면서도 $O(mn)$ 이하의 갱신 시간을 달성하는 감소하는 SSSP에 대한 라스베가스 데이터 구조를 설계할 수 있는가?
• RQ2 적응형 간선 삭제 조건 하에서, 가중 방향 그래프에서 근사 SSSP에 대해 Even과 Shiloach(1981)의 $O(mn)$ 갱신 시간 경계를 개선할 수 있는가?
• RQ3 모든 그래프 밀도에서 Henzinger 등(2014)의 $\tilde{O}(mn^{0.9+o(1)}\log W)$ 경계를 초월하는 더 빠른 갱신 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ4 적대자가 관찰자 무시적일 경우, 경로 조회를 효율적으로 지원할 수 있는가, 아니면 무작위성을 드러내야 하는가?
• RQ5 감소하는 도달 가능성에 대해 알려진 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 갱신 시간 경계를, 가중 방향 그래프에서 근사 SSSP에 대해 달성하거나 초월할 수 있는가?

주요 결과

• 가중 방향 그래프에서 감소하는 $(1+\epsilon)$-근사 SSSP에 대해 적응형 적대자에 대응하는 최초의 라스베가스 데이터 구조가 $\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$의 총 기대 갱신 시간을 달성한다.
• 비가중 그래프의 경우 동일한 데이터 구조는 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$의 총 기대 갱신 시간을 달성하며, 흩어진 그래프를 제외한 모든 그래프에서 Even과 Shiloach(1981)의 $O(mn)$ 경계를 초월한다.
• 적대자가 관찰자 무시적일 경우, 두 번째 라스베가스 데이터 구조는 비가중 그래프에서 $\tilde{O}(\sqrt{m}n^{3/2})$ 갱신 시간, 가중 그래프에서 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$ 갱신 시간을 달성한다.
• 높은 확률로 정확한 몬테카를로 데이터 구조는 관찰자 무시적 적대자에 대해 $\tilde{O}((mn)^{7/8}\log W) = \tilde{O}(mn^{3/4}\log W)$의 총 기대 갱신 시간을 달성한다.
• $m = \Theta(n^2)$일 경우, 두 번째 데이터 구조는 비가중 그래프에서 $\tilde{O}(n^{2+3/4+o(1)}\log W)$에서 $\tilde{O}(n^{2+1/2})$로 개선되었고, 가중 그래프에서는 $\tilde{O}(n^{2+2/3}\log W)$로 개선되었다.
• $m = \Theta(n)$일 경우, 세 번째 데이터 구조는 $\tilde{O}(n^{1+5/6+o(1)}\log W)$에서 $\tilde{O}(n^{1+3/4}\log W)$로 개선되었으며, 흩어진 그래프에서 상당한 향상이 이루어졌다.