[論文レビュー] Deep Curve-dependent PDEs for affine rough volatility

Antoine Jacquier, Mugad Oumgari|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、アフィンの粗いストキャスティック・ボラティリティ・モデルにおけるオプション価格設定のための深層学習ベースのアルゴリズムを提案する。価格設定問題を、全体のパスではなく前方ボラティリティ・カーブに依存する曲線依存型偏微分方程式（CPDE）として定式化することで、この問題を扱う。この手法は、E、Han、Jentzenの手法にインspiredされた深層学習駆動の後退スキームを用いてCPDEを効率的に解くものであり、計算コストの高いモンテカルロシミュレーションに対する有望な代替手法を提供する。実装では、正確さと高速性の両方が裏付けられている。

ABSTRACT

We introduce a new deep-learning based algorithm to evaluate options in affine rough stochastic volatility models. Viewing the pricing function as the solution to a curve-dependent PDE (CPDE), depending on forward curves rather than the whole path of the process, for which we develop a numerical scheme based on deep learning techniques. Numerical simulations suggest that the latter is a promising alternative to classical Monte Carlo simulations.

研究の動機と目的

• 粗いストキャスティック・ボラティリティ・モデルにおけるオプション価格設定のための、数値的に効率的なモンテカルロ・シミュレーションの代替策を開発すること。
• 粗いボラティリティ・モデルにおけるパス依存型PDEの計算ボトルネックを、全パスへの依存を前方予測カーブへの依存に削減することで解決すること。
• パス依存型PDEを介して、粗いボラティリティ・モデルへのフェインマン＝カースキー枠組みの拡張を図り、PDEベースの価格設定手法を可能にすること。
• アフィンの粗いローカル・ボラティリティ・モデルに生じる曲線依存型PDEを解くための深層学習ベースの数値スキームを設計すること。
• 数値的シミュレーションを通じて提案手法の妥当性を検証し、古典的なモンテカルロ法と性能を比較すること。

提案手法

• 価格関数を、プロセスの全パスではなく前方ボラティリティ・カーブに依存する状態を持つ曲線依存型偏微分方程式（CPDE）の解として再定式化する。
• CPDEは時間グリッドを用いて離散化され、特に粗いヘストンおよび粗いベルゴミ・モデルに対して、記憶核を有する確率微分方程式の系によって近似される。
• E、Han、Jentzenの手法にインspiredされた深層学習ベースの後退アルゴリズムを用いて、固定メッシュに依存しない高次元CPDEを効率的に解く。
• ブラウン運動の増分と記憶核の間の共分散行列の構造を活用し、ボラティリティおよび株価プロセスのシミュレーションを効率的に行う。
• アルゴリズムは、ボラティリティと資産価格ダイナミクスの相関するガウス的増分を生成するためにコレスキー分解を用い、正しいクロス変動構造を保証する。
• トーペリッツ行列の性質と高速フーリエ変換を用いて、離散化スキームを最適化し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深層学習ベースの手法は、モンテカルロ・シミュレーションよりも、アフィンの粗いストキャスティック・ボラティリティ・モデルに生じる曲線依存型PDEをより効率的に解くことができるか？
• RQ2 価格関数は、プロセスの全パスではなく、前方ボラティリティ・カーブの関数として表現できる程度はどの程度か？
• RQ3 提案された深層学習スキームは、粗いボラティリティ・モデルにおける古典的モンテカルロ法と比較して、正確さと速度の両面で優れているか？
• RQ4 異なるパrameter設定下での深層学習ベースのCPDEソルバーの数値的安定性および収束特性はいかがなっているか？
• RQ5 この手法は、ローカル・ボラティリティ成分を含めるように拡張可能であり、計算効率を維持できるか？

主な発見

• 提案された深層学習ベースのアルゴリズムは、モンテカルロ・シミュレーションと同等の正確なオプション価格設定結果を達成し、計算時間を大幅に削減した。
• アフィンの粗いボラティリティ・モデルにおける価格関数は、全パスではなく前方予測ボラティリティ・カーブにのみ依存するため、曲線依存型PDEの使用が正当化される。
• 数値実験において、特にヨーロピアン・バニラ・オプションに対して、本手法は頑健性とスケーラビリティを示した。
• 深層学習ベースの後退スキームを用いることで、事前に定義されたメッシュに依存しない高次元CPDEの効率的解法が可能になった。
• 標準的なモンテカルロ法よりも速度が優れており、特に複雑な記憶核を有するモデルにおいて、競争力のある正確さを維持した。
• 高速フーリエ変換とトーペリッツ行列構造を活用した離散化スキームにより、計算が最適化され、大規模な時間グリッドにおいてもパフォーマンスが向上した。