[論文レビュー] Definite signature conformal holonomy: a complete classification

Stuart Armstrong|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Tractor接続と計量コーン構成を用いて、定符号の共形ホロノミー群の完全分類を提供する。分解定理を用いて、共形的にアインシュタインおよびリッチ平坦な多様体に対するすべての可能な非分解的ホロノミー群を特定し、それらが $SO(n,1)$, $SO(n+1)$, $SU(m)$, $Sp(m)$, $G_2$, $Spin(7)$、またはリッチ平坦な場合の $R^n$ との半直積であることを示している。すべての群は幾何的に実現可能である。

ABSTRACT

This paper aims to classify the holonomy of the conformal Tractor connection, and relate these holonomies to the geometry of the underlying manifold. The conformally Einstein case is dealt with through the construction of metric cones, whose Riemmanian holonomy is the same as the Tractor holonomy of the underlying manifold. Direct calculations in the Ricci-flat case and an important decomposition theorem complete the classification for definitive signature.

研究の動機と目的

• 定符号のリーマン多様体上の共形Tractor接続のホロノミー群を分類すること。
• Tractorホロノミーが、特に共形的にアインシュタインおよびリッチ平坦な場合の元の幾何にどのように関係するかを明らかにすること。
• 可能な非分解的ホロノミー群の完全なリストを確立し、それらの幾何的実現を示すこと。
• 計量コーン構成と分解定理を用いて、アインシュタインの場合の結果をリッチ平坦の場合に拡張すること。
• $SO(n+1,1)$ の真の既約部分群が $R^{n+1,1}$ 上で既約に作用しないことを証明し、全ホロノミーの最大性を確認すること。

提案手法

• 主 bundle のアプローチに代わって、2階の再定式化としてのTractorバンドルとTractor接続を用いることで、共形幾何を扱う。
• 計量コーン構成を用いて、共形的にアインシュタイン構造と同一のホロノミーを持つリッチ平坦な擬リーマン多様体を関連付ける。
• ランク $k \neq 1,n$ の保存された部分バンドルが存在する場合、曲率定数に $(n-l-1)a = (1-l)b$ の関係が成り立つ2つのアインシュタイン多様体への局所的分解を示す分解定理を適用する。
• 表現論とリー代数の構造を用いて、特に放物型部分代数 $\mathfrak{b} = \mathfrak{h} \oplus T_b$ の構造を分析することで、可能なホロノミー代数を分析する。
• Tractorバンドル上の $\mathfrak{h}$-作用の既約性を用いて $\mathfrak{l} \cong \mathfrak{h}$ を除外し、$\mathfrak{l} \cong \mathfrak{b}$ を示すことで、リッチ平坦な場合の半直積構造を証明する。
• Di Scala と Olmos が得たローレンツ符号のホロノミー部分代数の既約性に関する結果を活用し、可能なホロノミー群を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定符号のリーマン多様体上の共形Tractor接続の可能なホロノミー群は何か？
• RQ2 Tractorホロノミーは、特にアインシュタインおよびリッチ平坦な場合の元の多様体の幾何にどのように関係するか？
• RQ3 Tractorバンドルの部分バンドルへの分解は、共形幾何における局所的積構造を特徴づけるのに利用できるか？
• RQ4 共形的にリッチ平坦な多様体に対する非分解的ホロノミー群の完全なリストは何か？
• RQ5 $\mathfrak{so}(n+1,1)$ の非自明な既約部分代数が $\bR^{n+1,1}$ 上に作用するか。もし存在しないならば、ホロノミー分類にどのような意味があるか？

主な発見

• Tractorバンドル上で既約に作用する局所的ホロノミー代数は、全 $\mathfrak{so}(n+1,1)$ 代数以外には存在しない。
• Tractorバンドルにランク $k \neq 1,n$ の保存された部分バンドルが存在する場合、多様体は曲率定数が $(n-l-1)a = (1-l)b$ を満たす2つのアインシュタイン多様体への局所的積に分解される。
• 非ゼロのスカラー曲率をもつ共形的にアインシュタインな多様体に対して、可能なTractorホロノミー群は $SO(n,1)$, $SO(n+1)$, $SU(m)$（$2m = n+1$ のとき）, $Sp(m)$（$4m = n+1$ のとき）, $G_2$（$n=6$ のとき）, $Spin(7)$（$n=7$ のとき）であり、これらはすべて実現可能である。
• 共形的にリッチ平坦な多様体に対して、非分解的Tractorホロノミー群は $SO(n)\rtimes\bR^n$, $SU(m)\rtimes\bR^{2m}$, $Sp(m)\rtimes\bR^{4m}$, $G_2\rtimes\bR^7$, $Spin(7)\rtimes\bR^8$ であり、これらはすべて幾何的に現れる。
• 計量コーン構成により、元の共形ホロノミーと一致するTractorホロノミーをもつリッチ平坦な擬リーマン多様体が得られ、この構成は非分解性を保つ。
• 不定符号の場合は、追加の既約ホロノミー代数が存在し、分解定理には $K \cap K^\perp$ のランクが 0 または 1 であるという追加条件が必要となる。