[論文レビュー] Definitions of h-logaritmic, h-geometric and h-multi convex functions and some inequalities related to them

M. Emіn Özdemіr, Mevlüt Tunç+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非負関数 h を用いて一般化された古典的凸性を拡張する、新たな凸関数のクラス—h-対数凸、h-幾何学的凸、および h-多重凸—を導入する。超加法性と変数変換を活用して、Hermite-Hadamard 型の結果や Hölder に基づく境界を含む積分不等式を確立し、積分推定への応用を含め、より広範な関数クラスへの凸解析の既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

In this papaer, we put forward some new definitions and integral inequalities by using fairly elementary analysis.

研究の動機と目的

• 非負関数 h を用いて、h-対数凸、h-幾何学的凸、および h-多重凸関数を定義することで、古典的凸性の概念を一般化すること。
• これらの新しい関数クラスに Hermite-Hadamard 不等式を拡張すること。
• 特に Hölder の不等式と変数変換を用いて、h-凸性を含む新しい積分不等式を導出すること。
• 既存の s-対数的および s-幾何学的凸関数に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• t ∈ [0,1] に対して不等式 f(tx + (1-t)y) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t) を満たす関数として、h-対数凸関数を定義する。
• 対数変換を用いて、h-対数凸性と log f の h-凸性の同値性を確立する。
• f(x^t y^{1-t}) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t) を満たす関数として、h-幾何学的凸関数を導入し、幾何学的凸性を一般化する。
• λf(x^t y^{1-t}) + (1-λ)f(tx + (1-t)y) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t) を満たす関数として、h-多重凸関数を定義し、対数的および幾何学的形を統合する。
• 共役指数 p, q を用いた Hölder の不等式を適用し、h-幾何学的凸関数の積の積分に対する境界を導出する。
• 変数変換 γ = x^t y^{1-t} を用いて積分を変形し、Hermite-Hadamard 型不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 h を用いて、対数凸性の概念をどのように一般化し、h-対数凸関数を定義できるか？
• RQ2 Hölder の不等式を用いて、h-幾何学的凸関数に対してどのような積分不等式を導出できるか？
• RQ3 h-多重凸性は、h-対数凸性と h-幾何学的凸性をどのように統合するか？
• RQ4 h-対数凸性が log f の h-凸性を示すための条件は何か？
• RQ5 これらの新しいクラスは、s-対数的および s-幾何学的凸関数に関する既知の結果をどのように拡張するか？

主な発見

• 本稿は、f が h-対数凸であるための必要十分条件として、log f が h-凸であること、すなわち両者の同値性を証明する。
• h(t) + h(1-t) = 1 を満たす h に対して、h-対数凸関数は同時に h-凸であることが示され、両クラスの関連が明確にされる。
• 積分不等式 ∫₀¹ f(x^t y^{1-t}) dt ≤ ∫₀¹ [f(x)]^{h(t)} [f(y)]^{h(1-t)} dt が導出され、Hermite-Hadamard 不等式が一般化される。
• 2つの h-幾何学的凸関数 f と g に対して、Hölder の不等式と指数 p, q を用いて積分の積の上界が得られ、4項からなる上界が得られる。
• h-多重凸性の定義は、h-対数凸性と h-幾何学的凸性を統合し、λ = 0 または λ = 1 のときそれぞれの形に帰着する。
• Hermite-Hadamard 型不等式が確立され、対数平均積分と算術平均積分の平均値が、h-重み付き幾何平均積分によって上から抑えられる。