[論文レビュー] Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality

Rafael J. L. Morcillo, Sinan Yalin|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、cobar構成を介してdg bialgebraの変形理論とE2代数の間に導出同値を確立し、cobar構成の高次Hochschild複体が変形を制御するE3構造を持つことを証明する。これは、Gerstenhaber-Schackの変形複体におけるE3構造に関する予想を解決し、対称bialgebraにおけるKontsevichのE3形式性予想を証明し、ホモトピーLie bialgebraのEtingof-Kazhdan変形量子化に対する、アソシエータに依存しない新しい証明をもたらす。

ABSTRACT

A first goal of this paper is to precisely relate the homotopy theories of bialgebras and $E_2$-algebras. For this, we construct a conservative and fully faithful $\infty$-functor from pointed conilpotent homotopy bialgebras to augmented $E_2$-algebras which consists in an appropriate "cobar" construction. Then we prove that the (derived) formal moduli problem of homotopy bialgebras structures on a bialgebra is equivalent to the (derived) formal moduli problem of $E_2$-algebra structures on this "cobar" construction. We show consequently that the $E_3$-algebra structure on the higher Hochschild complex of this cobar construction, given by the solution to the higher Deligne conjecture, controls the deformation theory of this bialgebra. This implies the existence of an $E_3$-structure on the deformation complex of a dg bialgebra, solving a long-standing conjecture of Gerstenhaber-Schack. On this basis we solve a long-standing conjecture of Kontsevich, by proving the $E_3$-formality of the deformation complex of the symmetric bialgebra. This provides as a corollary a new proof of Etingof-Kazdhan deformation quantization of Lie bialgebras which extends to homotopy dg Lie bialgebras and is independent from the choice of an associator. Along the way, we establish new general results of independent interest about the deformation theory of algebraic structures, which shed a new light on various deformation complexes and cohomology theories studied in the literature.

研究の動機と目的

• dg bialgebraとE2代数の間の正確なホモトピー理論的同値を、導出cobar構成を介して確立すること。
• dg bialgebraのcobar構成の高次Hochschild複体が自然なE3代数構造を持つことを証明すること。
• 長年の未解決問題であった、dg bialgebraの変形複体におけるE3構造に関するGerstenhaber-Schack予想を解決すること。
• 対称bialgebraにおけるKontsevichのE3形式性予想を証明し、これによりEtingof-Kazhdan変形量子化の、新しいアソシエータに依存しない証明を導くこと。
• 文献に登場するさまざまな変形複体の役割を、それらに対応する導出形式的モジュライ問題を特徴づけることによって明確化すること。

提案手法

• 0-連結なホモトピー的結合的代数から、余接続されたdg余代数へのbar-cobar随伴を構成する。
• cobar構成を用いて、連結で単位元付きの余接接続されたホモトピー的双代数から、拡張されたE2代数への完全かつ忠実な∞-関手を定義する。
• 高次Deligne予想の解法を適用し、cobar構成の高次Hochschild複体にE3代数構造を与える。
• biallygebra構造の導出形式的モジュライ問題と、cobar構成上のE2代数構造の導出形式的モジュライ問題との間に同値を確立する。
• Lurieによる形式的モジュライ問題の分類を用いて、Gerstenhaber-Schack複体内のMaurer-Cartan要素とLie bialgebra構造の変形との関係を関連付ける。
• n ≥ 3に対してEn-オペラッドの形式性を用いて、対称bialgebraの変形複体のE3形式性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dg bialgebraの変形理論は、cobar型構成を介してE2代数のそれと対応するか？
• RQ2 bialgebraのcobar構成の高次Hochschild複体は、自然なE3代数構造を持つか？
• RQ3 Gerstenhaber-Schackは、dg bialgebraの変形複体がE3代数に quasi-isomorphic であると予想しているが、これは正しいか？
• RQ4 Kontsevichは、対称bialgebraの変形複体がE3代数として形式的であると予想しているが、これは正しいか？
• RQ5 Etingof-Kazhdan変形量子化は、アソシエータを選びずにE3形式性から回復可能か？

主な発見

• 本稿は、cobar構成を介して、点付き余接接続されたホモトピー的双代数から拡張されたE2代数への、保存的かつ完全かつ忠実な∞-関手を構成する。
• ホモトピー的双代数構造の導出形式的モジュライ問題は、cobar構成上のE2代数構造のそれと同値である。
• dg bialgebraのcobar構成の高次Hochschild複体は、元の双代数の変形理論を制御する自然なE3代数構造を持つ。
• 対称bialgebraの変形複体のE3形式性が証明され、Kontsevichの予想が解決された。
• E3形式性定理を用いて、Lie bialgebraのEtingof-Kazhdan変形量子化に対する、アソシエータに依存しない新しい証明が得られた。
• 対称bialgebraのGerstenhaber-Schack複体が、Hochschildコホモロジー上のL∞代数構造を介して、対応するLie bialgebraの変形複体に quasi-isomorphic であることが示された。