[논문 리뷰] Deformation theory with homotopy algebra structures on tensor products

Daniel Robert-Nicoud|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 07.

Advanced Topics in Algebra인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 운영자에 대한 대수의 텐서곱과 코알gebra와 대수 사이의 사상 공간에 자연스러운 호모토피 리 대수 및 호모토피 결합 대수의 구조를 수립하고, 고전적 만인 tích을 일반화한다. 핵심 기여는 $\Psi$-유도된 사상 $\sigma_{\infty}$에서 복합체 운영자로의 사상에 기반한 개념적 프레임워크로, 이는 사상에 대한 변형 복합체와 변형 이론에서 $\infty$-군의 구체적 모델을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In order to solve two problems in deformation theory, we establish natural structures of homotopy Lie algebras and of homotopy associative algebras on tensor products of algebras of different types and on mapping spaces between coalgebras and algebras. When considering tensor products, such algebraic structures extend the Lie algebra or associative algebra structures that can be obtained by means of the Manin products of operads. These new homotopy algebra structures are proven by to compatible with the concepts of homotopy theory: $\infty$-morphisms and the Homotopy Transfer Theorem. We give a conceptual interpretation of their Maurer-Cartan elements. In the end, this allows us to construct the deformation complex for morphisms of algebras over an operad and to represent the deformation $\infty$-groupoid for differential graded Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• 운영자에 대한 대수 사이의 사상에 대한 변형 복합체를 구성하는 문제를 해결하기 위해.
• 델리뉴–힌히–게츠러 $\infty$-군의 구조와 호모토피 동치이면서도 크기가 작은 캔 컴플렉스 모델을 제공하기 위해.
• 고전적 만인 곱의 구성 방식을 운영자 $\psi$-사상에 의해 호모토피 대수로 일반화하기 위해.
• 신규 수립된 구조들이 $\infty$-사상과 호모토피 전달 정리와 호환되는지 확립하기 위해.
• 마우러–카르탕 원소들이 새로운 호모토피 대수의 구조에 대해 개념적으로 어떻게 해석될 수 있는지 제시하기 위해.

제안 방법

• 증명된 $\mathscr{Q}$가 증강된 dg 운영자일 때, $\Psi: \mathscr{Q} \to \mathscr{P}$의 사상에 대해 $\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$ 형태의 운영자 사상 구축.
• $\mathscr{Q}$와 $\mathscr{P}$와 관련된 코어퍼레이터의 복합체 운영자를 사용하여, $\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-코알지브라와 $\mathscr{P}$-대수 사이의 사상 공간에 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 구조 부여.
• 유도된 구조들이 $\infty$-사상과 호환되도록 하기 위해 호모토피 전달 정리를 적용.
• $\mathscr{Q}$가 이항 코스줄 운영자일 경우, $\mathscr{Q}^!_{\infty}$의 준자유 해체를 활용하여 명시적 구성 가능.
• $\mathscr{P}$-대수와 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$-대수의 텐서곱에 대한 구조 $\otimes^\Psi$ 정의로 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수 유도.
• 필터링과 완비성의 대수적 모델을 가능하게 하는 단사자 $\widehat{\mathscr{P}}$를 통한 완전한 $\mathscr{P}$-대수의 구조 정의.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 유형의 두 대수의 텐서곱에 자연스러운 호모토피 리 대수의 구조를 어떻게 수여할 수 있는가?
• RQ2 호모토피 리 대수의 마우러–카르탕 원소들의 공간에 대해, 델리뉴–힌히–게츠러 구성과 호모토피 동치이면서도 크기가 작은 $\infty$-군의 구조는 무엇인가?
• RQ3 운영자 사상에 의한 만인 곱의 구성 방식은 엄밀한 대수에서 호모토피 대수로 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 텐서곱과 사상 공간에 유도된 호모토피 대수의 구조들이 $\infty$-사상과 호모토피 전달 정리와 어떤 방식으로 호환되는가?
• RQ5 $\Psi$-유도된 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 구조 맥락에서 마우러–카르탕 원소들의 개념적 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$의 표준적 사상 구축을 통해, $\mathscr{P}$-대수와 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$-대수의 텐서곱에 자연스러운 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 구조 수여.
• 이항 코스줄 운영자 $\mathscr{Q}$에 대해, 운영자 $\Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$는 코스줄 해체 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$와 동형이므로 명시적 구성 가능.
• 사상 공간은 복합체 운영자를 통해 $\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-코알지브라와 $\mathscr{P}$-대수 사이에 자연스럽게 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 구조 수여.
• 텐서곱과 사상 공간에 유도된 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 구조는 $\infty$-사상과 호모토피 전달 정리와 호환됨.
• 유도된 $\mathscr{L}_{\infty}$-대수의 마우러–카르탕 원소들은 $\Psi$-호환 사상의 대수를 나타내며, 개념적 해석 제공.
• 이 프레임워크는 운영자에 대한 대수의 사상에 대한 변형 복합체를 구성할 수 있게 하여, 콘체비치가 제기한 문제를 해결함.