[論文レビュー] Deformations of Azumaya algebras

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Sep 20, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$C^{\infty}$ または複素解析的多様体上の滑らかな関数の代数とアズマヤ代数のホッフシュィルドコチェーン複体の間で、標準的な準同型が存在することを確立し、微分幾何的リーダル代数（DGLA）の導来圏における一連の準同型写像を通じて、それらの変形理論が同値であることを示している。主な結果は、構造層のドルベオ・ホッフシュィルド複体とアズマヤ代数のそれとの間で、導来圏における標準的な同型写像が存在することであり、これはコンツェビッチのフォーマリティ定理を非可換幾何に拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we compute the deformation theory of a special class of algebras, namely of Azumaya algebras on a manifold ($C^{\infty}$ or complex analytic).

研究の動機と目的

• アズマヤ代数の変形理論と多様体上の滑らかな関数の代数の変形理論の間の同値性を確立すること。
• アズマヤ代数のホッフシュィルド複体間の準同型写像の鎖を通じて、コンツェビッチのフォーマリティ定理をアズマヤ代数へ拡張すること。
• アズマヤ代数の変形理論が、多様体上の多重量場のDGLAと準同型であるDGLAによって支配されることを、導来圏における自然な構成により示すこと。
• ドルベオ・ホッフシュィルド複体を用いて、複素解析的多様体および複素可積分分布を持つ実多様体へその結果を一般化すること。

提案手法

• 滑らかまたは正則関数の構造層のホッフシュィルド複体とアズマヤ代数のそれとの間で、DGLAの導来圏における標準的同型写像を構築すること。
• コトレイス写像と接続および曲率の選択を用いて、ドルベオ・形式とホッフシュィルドコチェーンを含むDGLA間の準同型写像を定義すること。
• 非可換な微分作用素を補正するために、収縮作用素の指数写像 $\exp(\iota_F)$ を適用し、非自明な曲率が存在する場合でも準同型写像が保たれることを保証すること。
• 準同型写像の合成が選択に依存しないことを利用し、導来圏における同型写像が標準的であることを保証すること。
• ガーブと代数的スタックの構造を活用し、アズマヤ代数の変形理論を代数的層の変形を支配するDGLAと関連付けること。
• ドルベオ複体およびホッフシュィルドコホモロジーの性質を用いて、コホモロジー上での同型写像が誘導されることを確認することで、DGLA準同型写像が実際に準同型であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^\infty$ 多様体上のアズマヤ代数の変形理論は、滑らかな関数の構造層のそれと準同型であるか？
• RQ2 コンツェビッチのフォーマリティ定理は、DGLAの導来圏における一連の準同型写像を通じて、アズマヤ代数へ拡張可能か？
• RQ3 複素解析的多様体上のアズマヤ代数の変形理論は、ドルベオ・ホッフシュィルド複体を用いて記述可能か？
• RQ4 複素可積分分布がアズマヤ代数の変形理論に与える影響は何か？
• RQ5 コトレイス写像は、関連する代数のホッフシュィルド複体間の標準的準同型写像を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の ${\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}$-アズマヤ代数 ${\mathcal{A}}$ に対して、$\Omega^{\bullet}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X}}\overline{C}^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}}{\mathcal{J}}_{X/{\mathcal{P}}})[1]$ と $\Omega^{\bullet}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X}}C^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}}{\mathcal{J}}({\mathcal{A}}))[1]$ の間で、導来圏における標準的同型写像が存在する。
• この同型写像は構成における選択に依存しないため、導来圏において標準的である。
• この結果は、複素解析的多様体および複素可積分分布を持つ実多様体へ拡張可能であり、変形を支配するDGLAはドルベオ・ホッフシュィルド複体である。
• アズマヤ代数の変形理論は、構造層のホッフシュィルド複体と準同型であるDGLAによって支配され、その関係は一連の準同型写像を通じて確立される。
• コトレイス写像は、構造層のドルベオ複体とアズマヤ代数のホッフシュィルド複体の間で、DGLA構造をホモトピーの意味で保存する準同型写像を誘導する。
• 系35は、$\overline{C}^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}})$ と $C^{\bullet}({\mathcal{A}})$ の間で、導来圏における標準的同型写像が存在することを確立し、変形理論の同値性を確認している。