[論文レビュー] Deformations of Lie brackets: cohomological aspects

Marius Crainic, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の設定において随伴表現を必要としない、Lie代数ダルの変形を制御する新しいコhomology理論—変形コホモロジー—を導入する。この理論は、微分 graded Lie algebra (dgla) を通じてその Lie ブラケットの変形を制御し、コホモロジーが消えると剛性を示す。これは古典的な Lie 代数の変形理論を一般化するものである。

ABSTRACT

We introduce a new cohomology for Lie algebroids, and prove that it provides a differential graded Lie algebra which ``controls'' deformations of the structure bracket of the algebroid. We also have a closer look at various special cases such as Lie algebras, Poisson manifolds, foliations, Lie algebra actions on manifolds.

研究の動機と目的

• 一般の状況下で随伴表現が存在しない場合に、Lie代数ダルのブラケットの変形を支配するコホモロジー理論を構築すること。
• 古典的な Lie 代数の変形理論に類似した、Lie代数ダルの変形理論を制御する微分 graded Lie algebra (dgla) を構成すること。
• 新しい変形コホモロジーが既知の Lie代数ダルのコホモロジー（特に De Rham コホモロジー）とどのように関係するかを明らかにすること。
• コホモロジーの消滅条件の下で Lie代数ダルの剛性を示す結果を証明し、コンパクトな Lie 群や Poiassen 構造に対する既知の結果を拡張すること。
• Lie代数ダルの構造と双対バンドル $ A^\vee $ 上の線形 Poiassen 構造との対応関係を確立し、Poiassen コホモロジーを用いたコホモロジー的再解釈を可能とすること。

提案手法

• Lie代数ダル $ A $ のセクション上の多重線形反対称多重微分作用素の空間として、変形複体 $ C_{\text{def}}^*(A) $ を定義する。
• Lie ブラケットとセクションのブラケットの交代和を含む Nijenhuis-Schouten 型の公式によって与えられるコバウンダリー作用素 $ \delta $ を複体に導入する。
• $ (C_{\text{def}}^*(A), \delta) $ が微分 graded Lie algebra (dgla) をなすことを示し、そのコホモロジーを変形コホモロジー $ H^*_{\text{def}}(A) $ と定義する。
• Lie代数ダル構造と線形 Poiassen 構造の対応関係を用いて、$ H^*_{\text{def}}(A) $ と双対バンドル $ A^\vee $ の線形 Poiassen コホモロジー $ H^*_{\pi,\text{lin}}(A^\vee) $ の間に同型を確立する。
• $ \text{lin} $-カテゴリーフレームワークを用いて、van Est 同型を一般化し、正則および作用代数ダルに対して剛性結果を証明する。
• 変形コホモロジー $ H^2_{\text{def}}(A) $ が消えると、Lie代数ダルが剛性を示すことを証明し、古典的な Lie 代数理論の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴表現が存在しない状況下で、Lie代数ダルの変形理論をどのように制御できるか。
• RQ2 Lie代数ダルのブラケットの変形を支配する適切なコホモロジー理論とは何か。
• RQ3 変形コホモロジーは、De Rham コホモロジーなどの既知のコホモロジーとどのように関係するか。
• RQ4 $ H^2_{\text{def}}(A) $ が消えると、Lie代数ダルの構造が剛性を示すのはどのような条件下か。
• RQ5 双対バンドル $ A^\vee $ 上の線形 Poiassen 構造を用いて、Lie代数ダルの変形コホモロジーを特徴づけたり計算したりできるか。

主な発見

• 変形コホモロジー $ H^*_{\text{def}}(A) $ は線形 Poiassen コホモロジー $ H^*_{\pi,\text{lin}}(A^\vee) $ と同型である。これは、Lie代数ダルの変形と Poiassen 幾何学との深い関係を確立する。
• Lie代数ダル $ A $ 上のブラケットの変形は、$ H^2_{\text{def}}(A) $ の類によって分類される。これは、Lie代数の Chevalley-Eilenberg コホモロジーの一般化である。
• 変形コホモロジーは、Lie代数ダルの De Rham コホモロジーに自然に作用する。これは、変形理論が幾何的不変量にどのように作用するかを示す。
• $ H^2_{\text{def}}(A) $ が消えると、Lie代数ダルは剛性を示す。これは、非自明な変形が存在しないことを意味し、古典的な剛性結果を拡張する。
• 正則および作用代数ダルの状況において、積分可能群の族が固有かつ 2-単連結である場合に $ H^2_{\text{def}}(A) = 0 $ であるという予想が証明された。
• $ \text{lin} $-カテゴリーフレームワークにより、線形群や代数ダルへの van Est 型同型の拡張が可能となり、剛性予想の一般化された証明が有望である。