[論文レビュー] Deformations of Saito-Kurokawa type and the Paramodular Conjecture (with an appendix by Cris Poor, Jerry Shurman, and David S. Yuen)

Tobias Berger, Krzysztof Klosin|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異な4次元ガロア表現のモジュラー性を変形理論を通じて確立し、Bloch-Katoセイマー群に関する条件と特徴値0の変形の存在を仮定することで、普遍変形環が離散付値環であることを証明する。主な結果は、Saito-Kurokawa型の変形に対するR^red = T定理であり、これにより、Siegelモジュラー形式間の合同関係を用いて、731を導数とする場合を含む新しいケースでパラモジュラー予想を検証可能となる。

ABSTRACT

We study short crystalline, minimal, essentially self-dual deformations of a mod $p$ non-semisimple Galois representation $\barσ$ with $\barσ^{ m ss}=χ^{k-2} \oplus ρ\oplus χ^{k-1}$, where $χ$ is the mod $p$ cyclotomic character and $ρ$ is an absolutely irreducible reduction of the Galois representation $ρ_f$ attached to a cusp form $f$ of weight $2k-2$. We show that if the Bloch-Kato Selmer groups $H^1_f(\mathbf{Q}, ρ_f(1-k)\otimes \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$ and $H^1_f(\mathbf{Q}, ρ(2-k))$ have order $p$, and there exists a characteristic zero absolutely irreducible deformation of $\barσ$ then the universal deformation ring is a dvr. When $k=2$ this allows us to establish the modularity part of the Paramodular Conjecture in cases when one can find a suitable congruence of Siegel modular forms. As an example we prove the modularity of the abelian surface of conductor 731. When $k>2$, we obtain an $R^{ m red}=T$ theorem showing modularity of all such deformations of $\barσ$.

研究の動機と目的

• Q上の有理数体上の有理数トーションを持つアーベル曲面上から生じる4次元的自己双対なガロア表現のモジュラー性を、残りの表現のモジュラー性を仮定せずに確立すること。
• Serre型予想を必要としないSaito-Kurokawa型ガロア表現の変形理論的枠組みを構築すること。
• セイマー群の条件と特徴値0の絶対的既約な変形の存在を仮定した下で、普遍変形環が離散付値環であることを証明すること。
• Siegelモジュラー形式間の合同関係を活用して、特に合成数レベルの導数731について、パラモジュラー予想を新しいケースで検証すること。
• 適切なパラモジュラーSaito-Kurokawa上昇と安定なSiegelモジュラー形式間の合同関係が存在する場合に、アーベル曲面のモジュラー性を検証する一般的手法を提供すること。

提案手法

• 特徴値pの非半単純なガロア表現の短いクリスタリンで最小的かつ本質的に自己双対な変形を構成し、その半単純化がχ^{k−2} ⊕ ρ ⊕ χ^{k−1}となる。ここでρは重み2k−2のカスプ形式fから生じる。
• Bloch-Katoセイマー群の条件を用いる：dim H¹_f(Q, ρ(1−k)) = dim H¹_f(Q, ρ(2−k)) = 1であり、普遍変形環R^redが離散付値環であると仮定する。
• Katoの制御定理とp進L関数を用い、代数的L値L^alg(k,f)とセイマー群の大きさを関係付ける。#H¹_f(Q, ρ_f(1−k)⊗E/O) ≤ #O/L^alg(k,f)が成り立つ。
• 重みk、レベル1の非上昇Siegelモジュラー形式の空間上で作用するヘッケ代数Tを構成し、Saito-Kurokawa上昇と直交するようにする。Saito-Kurokawa上昇SK(f)の annihilator を用いてT ≠ 0を示す。
• 写像φ: R^red → ∏_{F∈Φ} O ⊃ T を構成し、可換代数の基準を用いてφが同型であることを証明し、R^red ≅ T を示す。
• I^tot が主理想である（定理6.6）ことと、写像φを組み合わせ、[BK13]の定理4.1を用いてR^red ≅ T を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セイマー群の条件と特徴値0の変形の存在が満たされるとき、Saito-Kurokawa型ガロア表現の普遍変形環が離散付値環であるための条件は何か？
• RQ2 残りのガロア表現のモジュラー性を仮定しないで、導数Nのアーベル曲面のモジュラー性を確立できるか？
• RQ3 Saito-Kurokawa上昇と安定なSiegelモジュラー形式間の合同関係を用いて、Serre型予想が存在しない状況でモジュラー性を証明する方法は何か？
• RQ4 この文脈において、Bloch-Katoセイマー群の大きさとモジュラー形式のL関数の代数的部の間の正確な関係は何か？
• RQ5 R^red = T定理は、特に合成数導数の場合に、パラモジュラー予想の検証にどの程度応用可能か？

主な発見

• Bloch-Katoセイマー群H¹_f(Q, ρ(1−k)) と H¹_f(Q, ρ(2−k)) がそれぞれ次元1であり、特徴値0の絶対的既約な変形が存在する場合、普遍変形環R^redは離散付値環である。
• k=2の場合、Saito-Kurokawa上昇と安定なSiegelモジュラー形式の間の合同関係が存在する場合（例：導数731）、本手法によりパラモジュラー予想のモジュラー性部分が確立される。
• 導数731のアーベル曲面がモジュラーであることが証明され、これは、真にシンプレクティックなガロア表現を持つ合成数レベルで最初に検証されたパラモジュラー予想の例である。
• k>2の場合、本稿はR^red = T定理を証明し、σのすべてのこのような変形がモジュラーであることを示している。つまり、重みk、レベル1のカスプ的非上昇Siegelモジュラー特徴形式から生じる。
• セイマー群の非零性と[Bro11]の系5.6より、不等式#T/J ≥ #O/L^alg(k,f) が導かれ、これにより非零ヘッケ代数Tの存在が示される。
• I^tot が主理想であることと可換代数の基準を用いて、写像φ: R^red → T が同型であることが示され、結論としてR^red ≅ T が得られる。