[論文レビュー] Deformations of zero-dimensional schemes and applications

Joachim Jelisiejew|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この修士論文は、$\mathbb{P}^n$ 上の零次元 Gorensteinスキームの平坦族を構成するための新しい道具を開発し、特定の有限 Gorenstein代数の滑らか可能性を証明するためにそれらを応用する。Macaulayの逆系とヒルベルト関数分解を用いて、特に $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ のアポラル代数が滑らか可能であり、ヒルベルト多様体の滑らか領域に属することを示した。

ABSTRACT

In this thesis we consider the geometry of the Hilbert scheme of points in P^n, concentrating on the locus of points corresponding to the Gorenstein subschemes of P^n. New results are given, most importantly we provide tools for constructing flat families and analysis of finite Gorenstein algebras and expose their efficiency by proving smoothability of certain families of algebras. Much of the existing theory and folklore is reviewed, providing a micro-encyclopaedic reference.

研究の動機と目的

• 零次元 Gorensteinスキームの平坦族を $\mathbb{P}^n$ で構成的につくるための道具を開発すること。
• Macaulayの逆系とヒルベルト関数分解を用いて有限 Gorenstein代数を分析すること。
• ヒルベルト関数 $(1,4,4,3,1)$ および関連する場合の特定の Gorenstein代数の滑らか可能性を証明すること。
• 小さな $r$ と任意の $n$ に対して、ヒルベルト多様体における Gorenstein局所の既約性を確立すること。
• Gorenstein局所の幾何と、ヴェロネーゼ埋め込みのセカント多様体およびカタス多様体との関係を結ぶこと。

提案手法

• Gorenstein代数を双対ソクル生成子によってパラメトライズするため、Macaulayの逆系を用いる。
• ヒルベルト関数分解を適用して、有限 Gorenstein代数の構造を分類・分析する。
• 積の写像の核による平坦性基準を用いて、平坦族を構成する。
• 定理 5.3 を用いて、$k[t]$ 上の平坦族を定義し、ファイバーを Gorenstein代数に同型にする。
• 系 5.4 を適用して、より単純なスキームの和への変形により滑らか可能性を示す。
• 命題 4.10 とアポラルイデアルを用いて、接空間の次元を計算し、滑らかさを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆系とヒルベルト関数分解を用いて、零次元 Gorensteinスキームの平坦族を体系的に構成可能か？
• RQ2 有限 Gorenstein代数が滑らか可能となる条件は何か、特に $h_A(1) \leq 3$ の場合に限るか？
• RQ3 $\mathbb{P}^n$ 上の $r$ 個の点のヒルベルト多様体における Gorenstein局所は、小さな $r$ と任意の $n$ に対して既約か？
• RQ4 ヒルベルト関数分解は、Gorenstein局所の幾何とヴェロネーゼ埋め込みのセカント多様体の関係にどのように関係するか？
• RQ5 ヒルベルト関数 $(1,4,4,3,1)$ を持つ Gorenstein点における接空間の次元は何か？ そしてそれが滑らかさを示唆するか？

主な発見

• ヒルベルト関数 $(1,4,4,3,1)$ を持つ Gorenstein代数の双対ソクル生成子の集合は、$Z \times S^{\leq 3}$ の中で既約な開部分集合をなす。ここで $Z$ はヒルベルト関数 $(1,3,3,3,1)$ を持つ四次式をパラメトライズする。
• $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ のアポラル代数は滑らか可能であり、これは二重点と三重点スキームの非交差和の平坦極限として得られる。
• $V \to \operatorname{HilbGor}_{\mathbb{P}^n}^r$ における写像の像は既約である。ここで $V$ は特定の双対ソクル生成子をパラメトライズする。
• $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ に対応する点は、$\operatorname{HilbGor}_{\mathbb{P}^n}^r$ の滑らか領域にあり、$k$-ランク 52 の接空間を持つ。
• すべての有限 Gorenstein代数で $h_A(1) \leq 3$ を満たすものは、変形理論的基準と逆系を用いて滑らか可能であることが示された。
• 三変数の四次式の射影的集合でヒルベルト関数 $(1,n,m,m,n,1)$ かつ $m \leq 3$ を満たすものは、第五ヴェロネーゼ埋め込みの第三セカント多様体に一致するため、既約である。