[論文レビュー] Delaunay Triangulations in Linear Time? (Part I)

Kevin Buchin|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式的に有界なスプレッドを持つℝᵈ内の点集合に対して、期待計算量が線形時間であるランダム化インクリメンタルアルゴリズムを提示する。この手法は、最近傍グラフと履歴に基づく点位置戦略を活用しており、ランダムサンプルのデローラン・トライアングルレーションの期待計算量がサンプルサイズに対して線形であるという仮定の下で、線形時間計算量を達成する。

ABSTRACT

We present a new and simple randomized algorithm for constructing the Delaunay triangulation using nearest neighbor graphs for point location. Under suitable assumptions, it runs in linear expected time for points in the plane with polynomially bounded spread, i.e., if the ratio between the largest and smallest pointwise distance is polynomially bounded. This also holds for point sets with bounded spread in higher dimensions as long as the expected complexity of the Delaunay triangulation of a sample of the points is linear in the sample size.

研究の動機と目的

• 現実的な計算モデルの下で、期待計算量が線形時間となるランダム化インクリメンタルアルゴリズムを用いたデローラン・トライアングレーションの構築を目的とする。
• インクリメンタル・デローラン構築における効率的な点位置の課題に、履歴データ構造と最近傍グラフ計算を組み合わせることで対処する。
• 点集合のスプレッドと期待されるトライアングレーションの複雑さに関する条件下で、平面を越えて高次元へと線形時間アルゴリズムの適用範囲を拡張する。
• 完全な構築履歴に依存しないようにするために、階層的サンプリングと最近傍グラフに基づく位置特定メカニズムを導入する。
• well-separated pair decompositionと基数ソート技術を用いて、期待実行時間の理論的上限を確立する。

提案手法

• 入力点を指数関数的に増加するラウンドにグループ化することで、効率的な階層的点位置を可能にする。
• インクリメンタル構築の初期段階での点位置を高速化するために、デローラン木（Delaunay tree）という履歴データ構造を用いる。
• 各ラウンドにおいて、点の部分集合に対して最近傍グラフ（NNG）を構築し、事前の挿入なしに連結成分を用いて、位置候補を階層の上位レベルへと伝搬させる。
• 高次のレベルでの点位置は、すでに位置が特定された点から始めて、最近傍グラフの辺に沿って移動することで実行され、コストは競合数と単体の複雑さによって上限が定まる。
• Chanによる最近の結果（well-separated pair decompositionとソーティングの関連）を活用し、基数ソートを用いて最近傍グラフを線形時間で構築可能であることを裏付ける。
• 計算モデルは、O(log N)-ビット整数に対する制限付き定数時間floor関数を備えた実数-RAMを仮定しており、過剰な仮定を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈにおける点集合が多項式的に有界なスプレッドを持つ場合、デローラン・トライアングレーションを線形期待時間で構築できるか？
• RQ2 完全な構築履歴に依存せずに、インクリメンタル・デローラン構築における点位置をどのように高速化できるか？
• RQ3 最近傍グラフは、インクリメンタル挿入中の効率的な階層的点位置にどのように寄与するか？
• RQ4 点集合の構造的特性（例：スプレッド、サンプリングの複雑さ）がどのような条件下で、期待されるデローラン・トライアングレーションの複雑さが線形に保たれるか？
• RQ5 このアルゴリズムは、一様なランダム挿入順序に限らず、偏りのある挿入順序やデローラン階層のような代替データ構造へとどの程度一般化可能か？

主な発見

• 点集合P ⊂ ℝᵈのデローラン・トライアングレーションは、ランダムサンプルのサイズrにおける期待されるトライアングレーションの複雑さがO(r)であるという仮定の下で、O(N)の期待時間で構築可能である。
• スプレッドが多項式的に有界な平面上の点集合に対しては、任意のランダムサンプルのデローラン・トライアングレーションの期待複雑さは線形であるため、本アルゴリズムは線形期待時間で実行される。
• 各ラウンドにおける全点の位置特定の期待コストはO(|Rₖ|)で上限が定まり、すべてのラウンドにわたる合計をとると、全体としての期待線形時間計算量が得られる。
• 最近傍グラフとwell-separated pair decompositionの併用により、基数ソートを用いて必要なグラフを線形時間で構築可能である。
• 完全な構築履歴の保存や照会を避けるために、最近傍成分を通じた位置候補の階層的伝搬を用いる。
• 解析はデローラン階層や偏りのある挿入順序へと拡張可能であり、一様ランダム挿入に限らない広範な適用可能性を示している。