[論文レビュー] Deligne's category Rep(GL_\delta) and representations of general linear supergroups

Jonathan Comes, Benjamin Wilson|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、一般線型スーパーグループ GL(m|n) の自然表現の混合テンソル積の不定値和因子を、Deligneの圏 Rep(GLδ) を用いて、同型を除いて分類する。合成超対称シュール多項式を用いた特性式の公式を提示し、持ち上げ同型と壁付きブラウアー代数の分解数を用いて、これらの和因子のテンソル積の分解法を確立する。主な貢献は、(m|n)-クロス二部分割を用いた表現の完全な分類と消滅基準の確立である。

ABSTRACT

We classify indecomposable summands of mixed tensor powers of the natural representation for the general linear supergroup up to isomorphism. We also give a formula for the characters of these summands in terms of composite supersymmetric Schur polynomials, and give a method for decomposing their tensor products. Along the way, we describe indecomposable objects in Rep(GL_\delta) and explain how to decompose their tensor products.

研究の動機と目的

• 一般線型スーパーグループ GL(m|n) の混合テンソル積 T(r,s) = V^⊗r ⊗ (V*)^⊗s の不定値和因子を同型を除いて分類すること。
• これらの和因子の特性式を合成超対称シュール多項式を用いて表現すること。
• これらの不定値和因子のテンソル積の分解法を開発すること。
• Rep(gl(m|n)) 内の表現の消滅基準を二部分割の性質を用いて明確にすること。

提案手法

• 混合テンソル積の GLd および GL(m|n) 同時研究のための普遍的枠組みとして、Deligneのテンソル圏 Rep(GLδ) を用いる。
• Comes と Ostrik のインスピレーションを受けて、一般的 δ と特異的 δ の場合におけるグロテンディーク環を関連付ける持ち上げ同型技術を採用する。
• 壁付きブラウアー代数 Br,s(δ) のセルラ構造と分解数を用いて、二部分割を介した不定値対象の分類を行う。
• Brundan と Stroppel のキャップ図を用い、分解数を再帰的に計算し、持ち上げ構成を支援する。
• Koike の定理（有理的 GLd 表現のテンソル積分解）を応用し、Rep(GLδ) 内の一般的テンソル積則を導出する。
• 関手 Fm|n: Rep(GLm−n) → Rep(gl(m|n)) を適用して、Deligneの圏からの対象をスーパーグループ設定に持ち上げ、Rep(gl(m|n)) 内での分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(m|n) の混合テンソル積 T(r,s) の不定値和因子の完全な同型を除いた分類は何か？
• RQ2 これらの不定値和因子の特性式は、対称多項式を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 Rep(gl(m|n)) 内でのこれらの不定値和因子のテンソル積の構造は何か？
• RQ4 Rep(gl(m|n)) 内で表現 W(λ) が消える条件は何か？
• RQ5 Rep(GLδ) から Rep(gl(m|n)) への持ち上げ同型は、テンソル積の分解をどのように支援するか？

主な発見

• Rep(GL(m|n)) 内の T(r,s) の不定値和因子は、(m|n)-クロスである二部分割 λ によって同型を除いて分類され、Fm|n(L(λ)) が対応する不定値対象である。
• 各不定値和因子 W(λ) の特性式は、二部分割 λ に対応する合成超対称シュール多項式で与えられる。
• 一般的 δ における Rep(GLδ) 内の不定値対象のテンソル積は、L(λ) ⊗ L(µ) ≅ ⨁ν L(ν)⊕Γνλ,µ と分解され、係数 Γνλ,µ はリトルウッド＝リチャードソン係数である。
• Rep(gl(m|n)) 内で表現 W(λ) が非ゼロであることは、二部分割 λ が (m|n)-クロスであることと同値であることが、定理 8.7.6 で示された。
• δ = m−n のとき、関手 Fm|n は、Rep(GLδ) 内の不定値対象 L(λ) を、Rep(gl(m|n)) 内の不定値表現 W(λ) に写像する。この写像が成り立つのは、λ が (m|n)-クロスであるときである。
• 消滅基準は、古典的 GLd の場合（l(λ) ≤ d）と GL(m|n) フックの場合を一般化し、(m|n)-クロス条件の下で統一的に扱える。