[論文レビュー] Delocalization of eigenvectors of random matrices. Lecture notes

Mark Rudelson|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、密度が有界な i.i.d. 成分をもつランダム行列の固有ベクトルについて、ギャップのない局在化を確立する。任意の無視できない座標の部分集合が、1未満の質量を有することを証明する。フーリエ解析と小球確率の境界を用いて、1/4-ノルムの局在化を導出し、それをエレドシュ＝レーニー確率的グラフに適用することで、正または負の固有ベクトル値を持つ大きな頂点集合におけるエッジ追加に対して、スペクトルギャップが安定であることを示す。

ABSTRACT

Let $x \in S^{n-1}$ be a unit eigenvector of an $n imes n$ random matrix. This vector is delocalized if it is distributed roughly uniformly over the real or complex sphere. This intuitive notion can be quantified in various ways. In these lectures, we will concentrate on the no-gaps delocalization. This type of delocalization means that with high probability, any non-negligible subset of the support of $x$ carries a non-negligible mass. Proving the no-gaps delocalization requires establishing small ball probability bounds for the projections of random vector. Using Fourier transform, we will prove such bounds in a simpler case of a random vector having independent coordinates of a bounded density. This will allow us to derive the no-gaps delocalization for matrices with random entries having a bounded density. In the last section, we will discuss the applications of delocalization to the spectral properties of Erdős-Rényi random graphs.

研究の動機と目的

• 密度が有界な i.i.d. 成分をもつランダム行列の固有ベクトルについて、ギャップのない局在化を確立し、質量分布に大きな空洞がないことを保証する。
• 独立な座標をもつランダムベクトルの射影に対する小球確率の境界を、フーリエ解析を用いて開発する。特に、密度が有界な場合を対象とする。
• これらの境界を拡張し、実および複素ランダム行列における 1/4-ノルムの局在化を導出する。
• 局在化の結果をエレドシュ＝レーニー確率的グラフのスペクトル的性質に応用し、特にエッジ追加に対するスペクトルギャップの安定性を調べる。
• 正規化ラプラシアンのスペクトルギャップが、固有ベクトルの符号が一貫した大きな頂点集合におけるエッジ追加に対して安定であることを証明する。

提案手法

• フーリエ変換を用いて、密度が有界な独立座標をもつランダムベクトルの射影に対する小球確率の境界を導出する。
• これらの境界を応用し、ギャップのない局在化を証明する。これにより、任意の無視できない座標部分集合が非無視可能な質量を有することを示す。
• 測度の集中と 1/4-ノルムの境界を用いて、固有ベクトルの ∞-ノルムを制御する。
• エレドシュ＝レーニー確率的グラフの正規化ラプラシアンを、固有ベクトルの局在化を用いて解析し、スペクトルギャップの安定性を評価する。
• 固有ベクトルの構造とその ∞-ノルムを用いて、正または負の符号集合における非エッジの数を評価し、スペクトルギャップの安定性と関連付ける。
• 定理7をパラメータ s と ε で適用し、大きな座標集合が小さい固有ベクトル値をとる確率が指数的に小さいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度が有界な仮定の下で、フーリエ解析を用いてランダムベクトルの射影に対する小球確率の境界を導出可能か？
• RQ2 密度が有界な i.i.d. 成分をもつランダム行列の固有ベクトルに対して、ギャップのない局在化が成立するか？
• RQ3 このような行列における固有ベクトルの ∞-ノルムの定量的境界は何か？
• RQ4 固有ベクトルの局在化は、エレドシュ＝レーニー確率的グラフのスペクトルギャップにどのように影響するか？
• RQ5 固有ベクトルの符号が一貫した大きな頂点集合におけるエッジ追加に対して、スペクトルギャップはどの程度安定か？

主な発見

• 密度が有界な i.i.d. 成分をもつランダム行列に対して、固有ベクトルの ∞-ノルムは、高確率で $ C n^{-1/4} \log^C n $ で有界である。
• ギャップのない局在化が成立する：無視できない座標部分集合は、小球確率の境界を用いて定量的に評価された非無視可能な質量を有する。
• エレドシュ＝レーニー確率的グラフでは、2番目の固有ベクトルの正または負の符号集合における非エッジの割合は、高確率で $ 1/2 - O(n^{-c}) $ 以上である。
• 正規化ラプラシアンのスペクトルギャップは安定である：正または負の符号集合内の任意の非エッジを追加すると、スペクトルギャップが減少する。
• 大きな座標集合が小さい固有ベクトル値をとる確率は、$ \exp(-\varepsilon n) $ 以下であり、これは $ \ll \exp(-c \log^2 n) $ に比べてはるかに小さい。
• この結果は、$ G \sim G(n,p) $ に対して高確率で $ a_-(G) \geq \frac{1}{2} - O(n^{-c}) $ が成り立つことを示唆し、スペクトルギャップの安定性に関する予想の強い形を裏付ける。