[論文レビュー] Delocalized equivariant coholomogy of symmetric products

Jian Zhou|ArXiv.org|Oct 5, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、物理的文脈に適した次数を用いて、閉複素多様体の対称積の局所化された等長同型コホロジーのポincare多項式およびホッジ多項式を計算する。これは、楕円的生成関数の Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式の特別な場合を回復し、直接和のコホロジー群上にヘイゼンベルク超代数作用を構成する。これは、以前の等長同型 K 理論における研究を拡張するものである。

ABSTRACT

For any closed complex manifold $X$, we calculate the Poincaré and Hodge polynomials of the delocalized equivariant cohomology $H^*(X^n, S_n)$ with a grading specified by physicists. As a consequence, we recover a special case of a formula for the elliptic genera of symmetric products in Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde \cite{Dij-Moo-Ver-Ver}. For a projective surface X, our results matches with the corresponding formulas for the Hilbert scheme of X^[n]. We also give geometric construction of an action of a Heisenberg superalgebra on $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$, imitating the constructions for equivariant K-theory by Segal \cite{Seg} and Wang \cite{Wan}. There is a corresponding version for $H^{-*, *}$.

研究の動機と目的

• 閉複素多様体 $X$ に対して、対称積の局所化された等長同型コホロジー $H^*(X^n, S_n)$ のポincare多項式およびホッジ多項式を計算すること。
• 対称積の楕円的生成関数に関する Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式の特別な場合を回復すること。
• $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 上に、等長同型 K 理論における Segal らの構成と類似する、幾何的ヘイゼンベルク超代数作用を構成すること。
• $X$ が射影的平面であるとき、コホロジー不変量とヒルベルトスキームとの一致を確立すること。

提案手法

• 群作用の情報をねじれたコホロジーを介して組み込むことで、$X^n$ の対称群 $S_n$-等長同型コホロジーに局所化されたクラスを用いる。
• 特に共形場理論に由来する物理的理論を動機として、コホロジー構造を整理するための次数スキームを適用する。
• 等長同型コホロジーおよびホッジ理論の技術を用いて、ポincare多項式およびホッジ多項式を計算する。
• 対称積構造を用いて、コホロジー群の直接和上に幾何的ヘイゼンベルク超代数作用を構成する。
• 既知の平面のヒルベルトスキームに関する結果を活用し、コホロジー公式の比較と検証を行う。
• 主な構成と整合性を保つために、$H^{-*,*}$ の双対版を含めるフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉複素多様体に対して、対称積の局所化された等長同型コホロジーのポincare多項式およびホッジ多項式をどのように計算できるか。
• RQ2 計算されたコホロジーが、特に Dijkgraaf, Moore, Verlinde, Verlinde が導出した対称積の楕円的生成関数の既知の公式を回復するか。
• RQ3 等長同型 K 理論における構成と類似する、対称積の等長同型コホロジー群の直接和上に幾何的ヘイゼンベルク超代数作用を構成できるか。
• RQ4 $X$ が射影的平面であるとき、対称積のコホロジー不変量はヒルベルトスキームのそれらとどのように比較できるか。
• RQ5 指定された次数がコホロジーを整理し、物理的理論と結びつける役割を果たすか。

主な発見

• 任意の閉複素多様体 $X$ に対して、物理的慣習に一致する次数を用いて、$H^*(X^n, S_n)$ のポincare多項式およびホッジ多項式を明示的に計算した。
• 結果は、Dijkgraaf, Moore, Verlinde, Verlinde が導出した対称積の楕円的生成関数の公式の特別な場合を回復した。
• 射影的平面 $X$ に対して、コホロジー公式はヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ のそれらと一致し、既知の代数幾何的不変量と整合性を確認した。
• $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 上に、Segal らの等長同型 K 理論における構成を一般化した幾何的ヘイゼンベルク超代数作用を構成した。
• 対応するバージョン $H^{-*,*}$ を定義し、双対ヘイゼンベルク超代数作用を有することを示した。
• この構成により、対称積コホロジーに内在するフォック空間構造のコホロロジー的実現が得られ、位相と表現論を結びつけるものとなった。