[論文レビュー] Delone dynamical systems and associated random operators

Daniel Lenz, Peter Stollmann|ArXiv.org|Feb 26, 2002

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 26被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、有限型のデロンヌ力学系に対して、非可換積分論を用いて確率的作用素のフォン・ノイマン代数を関連付ける厳密な枠組みを確立する。スペクトルのほとんど確実な定数性およびタイトバインディング作用素に対するシュービンのトレース公式を証明し、周期的またはアンドリュースモデルを超えて準結晶系へのスペクトル理論を拡張する。

ABSTRACT

We carry out a careful study of basic topological and ergodic features of Delone dynamical systems. We then investigate the associated topological groupoids and in particular their representations on certain direct integrals with non constant fibres. Via non-commutative-integration theory these representations give rise to von Neumann algebras of random operators. Features of these algebras and operators are discussed. Restricting our attention to a certain subalgebra of tight binding operators, we then discuss a Shubin trace formula.

研究の動機と目的

• 準結晶構造をモデル化する有限型のデロンヌ力学系のための位相的・エルゴディック的枠組みを構築すること。
• 格子構造が存在しない準結晶系における変動するヒルベルト空間の課題に対処すること。
• 非可換積分論を介して、デロンヌ力学系と確率的作用素のフォン・ノイマン代数との間の関係を確立すること。
• この設定において、スペクトルのほとんど確実な定数性およびタイトバインディング作用素に対するシュービンのトレース公式の有効性を証明すること。
• エルゴディック的および群ガロア理論的メソッドを用いて、周期的およびアンドリュースモデルからのスペクトル結果を中間の準結晶的領域へ一般化すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^d$ 内のデロンヌ集合を、一様な分離条件および相対的密度条件によって定義し、パrameter空間 $\Omega$ の基礎をなす。
• デロンヌ集合の空間に、$\Omega$ がコンパクトな距離空間となるような位相を導入し、$\mathbb{R}^d$ の連続的作用を定義する。
• $\Omega$ 全体に一様に有界であり、平行移動に関して共変である有限範囲作用素の $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Omega,T)$ を構成する。
• 非可換積分論を用いて、動的系にフォン・ノイマン代数を関連付け、非定数のファイバーを持つ直積分を用いた確率的作用素の研究を可能にする。
• ヴァン・ホーヴェ列を用いたスペクトル数え上げ関数の体積極限により、統合状態密度を定義する。
• 一意的エルゴディシティのもとで、スペクトル測度 $\rho(A_{\omega}, Q_n) \to \rho_A$ の弱収束を証明し、厳密エルゴディシティのもとで一様収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型のデロンヌ力学系は、格子構造を持たない準結晶系をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 これらの系に関連する確率的作用素において、スペクトルの定数性といったスペクトル的性質はどのように現れるか？
• RQ3 非可換積分論は、デロンヌ力学系からフォン・ノイマン代数を構成するためにどのように機能するか？
• RQ4 無限体積極限において、統合状態密度はどのような条件下で収束するか？
• RQ5 この非周期的・非アンドリュース的状況において、タイトバインディング作用素に対してシュービンのトレース公式が成り立つか？

主な発見

• スペクトル $\sigma(A_\omega)$ が $\omega \in \Omega$ に依存しないことは、デロンヌ力学系が最小的であることと同値である。
• 任意の自己共役作用素 $A \in \mathcal{A}(\Omega,T)$ に対して、表現 $\pi_\omega$ がすべての $\omega$ に対して忠実であることと、系が最小的であることとは同値である。
• 任意の自己共役作用素 $A \in \mathcal{A}(\Omega,T)$ に対して、一意的エルゴディシティのもとで、任意のヴァン・ホーヴェ列 $Q_n$ 沿いにスペクトル測度 $\rho(A_{\omega}, Q_n)$ が $\rho_A$ に弱収束する。
• 厳密エルゴディックで非周期的な場合、分布関数の収束は一様である。これは極限関数が不連続であっても成り立つ。
• 統合状態密度 $N(E) = \lim_{Q \nearrow \mathbb{R}^d} \frac{1}{|Q|} n(A_\omega, Q)(E)$ は存在し、$\omega$ に依存しない。
• タイトバインディング作用素の代数に対してシュービンのトレース公式が成り立ち、周期的およびほぼ周期的系からの結果が準結晶的状況へ拡張される。