[論文レビュー] Denotational semantics of general store and polymorphism

Jonathan Sterling, Daniel Gratzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2022

Semantic Web and Ontologies被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の参照型と再帰型を拡張した多相的依存型理論の、初めての意味論的意味論を提示する。ガーディッド再帰と合成ガーディッド領域理論を用いて、構文的に定義できない意味論的クリプケ世界をモデル化する。主な貢献は、パラメトリック推論と証明に依存する論理的関係と整合する関係的モデルであり、これは命令型抽象データ型の合成的検証を可能にする。

ABSTRACT

We contribute the first denotational semantics of polymorphic dependent type theory extended by an equational theory for general (higher-order) reference types and recursive types, based on a combination of guarded recursion and impredicative polymorphism; because our model is based on recursively defined semantic worlds, it is compatible with polymorphism and relational reasoning about stateful abstract datatypes. We then extend our language with modal constructs for proof-relevant relational reasoning based on the "logical relations as types" principle, in which equivalences between imperative abstract datatypes can be established synthetically. What is new in relation to prior typed denotational models of higher-order store is that our Kripke worlds need not be syntactically definable, and are thus compatible with relational reasoning in the heap. Our work combines recent advances in the operational semantics of state with the purely denotational viewpoint of synthetic guarded domain theory.

研究の動機と目的

• 一般の参照型と再帰型を備えた多相的依存型理論の意味論的意味論を提供すること。
• パラメトリック多相性と高階的状態を、関係的推論をサポートする形で一貫して組み合わせる課題を解決すること。
• 構文的に定義できないクリプケ世界をモデル化することで、ヒープベースの関係的推論と整合性を保つこと。
• 論理的関係を型とする原理を用いて、証明に依存する関係的推論のためのモダール構成をモデルに拡張すること。
• 依存型理論における状態付きの高階的分離論理の基盤を築くこと。

提案手法

• 時間のモデル化と再帰的定義の階層化のため、後続モダリティ □ を用いた合成ガーディッド領域理論（SGDT）を用いる。
• 各世界がヒープの位置に意味論的型を割り当てる順序集合 W として意味論的世界を定義し、状態に関する意味論的推論を可能にする。
• 意味論的型を W から予ドメインへのファンクターとしてモデル化することで、領域方程式による再帰的型定義を可能にする。
• 構文的に定義されない世界を許容するクリプケ論理的関係モデルを導入し、異なるヒープ状態間の関係的推論を可能にする。
• 論理的関係を型とする原理を用いて、命令型抽象データ型間の証明に依存する同等性を内部化する。
• ガーディッド再帰と非推論的多相性を組み合わせることで、多相性と状態を統一的な意味論的モデルでサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリック多相性と一般の参照型を、意味論的意味論において一貫して組み合わせる方法は何か？
• RQ2 ヒープに割り当てられた状態に関する関係的推論を可能にするために、クリプケ世界を構文的ではなく意味論的に定義できるか？
• RQ3 高階的状態の型理論的モデルにおいて、証明に依存する関係的推論を内部化する方法は何か？
• RQ4 意味論的型とヒープの位置を含む領域方程式を解く際に、ガーディッド再帰が果たす役割は何か？
• RQ5 参照型を備えた依存型理論の意味論的モデルは、高階的分離論理によるモジュラー推論をサポートできるか？

主な発見

• 本稿は、合成ガーディッド領域理論を用いて、一般の参照型と再帰型を備えた多相的依存型理論の完全な意味論的モデルを構築する。
• 意味論的世界が構文的対象ではなく意味論的実体として扱えることにより、状態を持つ抽象データ型に関する関係的推論が可能になる。
• 意味論的世界は、世界から予ドメインへのファンクターを含む領域方程式によって定義され、意味論的型システムにおける型結合子の問題を解決する。
• 論理的関係を型とする原理を用いることで、証明に依存する関係的推論を合成的に実現でき、命令型データ構造間の同等性を内部的に確立できる。
• 高階的分離論理への拡張が可能であり、モデル上にアイris風のBIハイパードクトラクトが後続的に構成されたことで実証された。
• Birkedal ら（2010）による反例により、従来のモデルが再帰型を扱う際に意味論的世界を用いる場合に失敗することを回避している。