[논문 리뷰] Dense sets of joint distributions appearing in filtration enlargements, stochastic control, and causal optimal transport

Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 확률 이론의 고전적 근사 결과에 대한 동적 유사 결과를 수립하며, 비원소성 조건과 호환성 조건 하에서 확률과정 $(X,Y)$ 가 $Y$ 가 생성하는 필터레이션에 적응하는 $X'$ 를 갖는 쌍 $(X',Y)$ 로 법적으로 근사될 수 있음을 보여준다. 핵심 기여는 스트로복스틱 제어 및 인과적 최적 운반 문제에서의 유연성 향상을 가능하게 하는 경로 기반 근사 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient compatibility condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. A similar approximation is valid for randomized stopping times. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

연구 동기 및 목표

• 동적 및 경로 기반 제약 조건 하에서 연속 시간 확률과정으로의 고전적 공동 법칙 근사 결과의 확장.
• 필터레이션 적응을 통한 인과성 강제 조건을 통해 스트로복스틱 제어 및 최적 운반 문제에서 비-마르코프 의존성을 근사하는 데 도전.
• 평균장 스트로복스틱 제어 및 인과적 최적 운반 문제에서 인과 제약 조건을 완화하기 위한 이론적 기초 제공.
• 진행적 확장된 필터레이션에서의 침습성 성질을 근사 기법을 통해 특성화.
• 경로 기반 법적 근사 기법을 사용하여 랜덤화된 정지 시간과 필터레이션 확장을 통합 및 일반화한 결과의 특성화.

제안 방법

• 근사화에 필요한 충분한 랜덤성을 확보하기 위해 프로세스 $Y$ 에 대한 비원소성 가정을 활용.
• 존재성 보장의 필요 및 충분 조건인 $X$ 와 $Y$ 간의 호환성 조건을 적용하여 $\mathcal{F}^Y_t$ 에 적응하는 근사 $X'$ 의 존재를 확보.
• 경로 공간에서의 약한 수렴을 활용하여 $(X,Y)$ 의 공동 법칙을 $X'$ 가 $\mathcal{F}^Y$-적응인 $(X',Y)$ 로 근사.
• 랜덤화된 정지 시간으로 프레임워크를 확장하여 옵셔널 타임의 맥락에서 유사한 근사 성질을 보여줌.
• 진행적 필터레이션 확장을 활용하여 침습성 성질의 특성화 도출.
• 최적 운반 및 스트로복스틱 제어 문제에서 인과 제약 조건을 완화하기 위해 근사 프레임워크를 적용하여 $X'$ 가 $Y$-가측이 되도록 허용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 $X$ 와 $Y$ 의 쌍 $(X,Y)$ 가 $X'$ 가 $\mathcal{F}^Y$ 에 적응하는 $(X',Y)$ 로 법적으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 $X$ 와 $Y$ 간의 호환성 조건이 이러한 근사의 실현 가능성과 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 근사 프레임워크는 필터레이션 확장 맥락에서 랜덤화된 정지 시간으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 근사의 결과가 평균장 스트로복스틱 제어에서 인과 제약 조건을 완화하는 데 어떤 함의를 지니는가?
• RQ5 이 접근법은 진행적 확장된 필터레이션에서의 침입성 성질에 대해 어떤 새로운 특성화를 제공하는가?

주요 결과

• 비원소성 가정과 필요 및 충분 조건인 호환성 조건 하에서, $(X,Y)$ 의 공동 법칙은 $X'$ 가 $\mathcal{F}^Y$ 에 적응하는 $(X',Y)$ 로 경로 공간에서 근사될 수 있다.
• 근사 프레임워크는 $X'$ 가 $Y$-가측이 되도록 허용함으로써 평균장 스트로복스틱 제어에서 인과 제약 조건을 완화하는 데 기여한다.
• 이 방법은 경로 기반 근사를 통해 진행적 확장된 필터레이션에서의 침입성 성질에 대한 새로운 특성화를 제공한다.
• 결과는 랜덤화된 정지 시간으로까지 확장되며, 유사한 조건 하에서 이러한 시간들도 법적으로 근사될 수 있음을 보여준다.
• 이 프레임워크는 기존의 필터레이션 확장, 스트로복스틱 제어 및 인과적 최적 운반에 관한 결과들을 통합 및 일반화한다.
• 근사는 경로 공간에서 법의 약한 수렴의 관점에서 조밀한 성질을 지녀, 연속 시간 모델 전반에 걸쳐 넓은 적용 가능성을 보장한다.