[論文レビュー] Denseness of adapted processes among causal couplings

Mathias Beiglböck, Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、離散的および連続的時間の両方において、確率過程の一般的な因果的結合を適応過程が近似可能となる条件を確立する。主な結果は、非原子性および因果性の条件下で、任意の過程 $X$ と $Y$ の連合分布は、$X$ の周辺分布を保持するかしないかにかかわらず、$Y$-適応過程 $X^k$ によって法則的に近似可能であることを示しており、これにより確率的制御および因果的最適輸送における制約の緩和が可能になる。

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable and $X' \stackrel{d}{=} X$. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient causality (or compatibility) condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. In addition, in finite discrete time, we can take $X'$ to have the same law as $X$. A similar approximation is valid for randomized stopping times, without the first marginal fixed. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

研究の動機と目的

• 古典的な Monge-Kantorovich 結合結果を、確率過程の動的で非予測可能な設定に拡張すること。
• 過程 $X$ が過程 $Y$ と因果的に整合可能である、すなわち $X$ が将来の $Y$-情報に対して条件付き独立である、という状況を同定すること。
• 適応過程が因果的結合の空間において、$X$-周辺分布を固定するかしないかにかかわらず、どのようにも稠密であるかを確立すること。
• 確率的制御および因果的最適輸送問題における適応性制約の緩和のための理論的基盤を提供すること。
• 特に連続時間における因果的結合集合の凸性および極点構造を調査すること。

提案手法

• 因果性の主要な条件として、$X$-フィルトレーションが現在の $Y$-情報の下で将来の $Y$-情報から条件付き独立であるという概念を用いる。
• 経路空間における弱収束を適用：$(X^k, Y) \Rightarrow (X, Y)$ は $\mathcal{Y}^N \times \mathcal{X}^N$（離散）または $D \times C$（連続）の経路空間において成り立つ。
• 近似する $Y$-適応過程 $X^k$ の構成に、可測選択および正規条件付き確率の技術を用いる。
• $Y_t$ の法則が各時刻 $t$ で非原子的であることを利用して、近似のための可測選択の存在を保証する。
• 弱収束理論およびSDE理論（例：Jacod-Mémin）の結果を応用し、$Z$ によって駆動されるSDEの解の収束を保証する。
• 制御制約の緩和には定理 8.1 を用い、${\mathbb{F}}^Y$-適応制御の最適化が、より大きな適合フィルトレーションの最適化と等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $Y$ に対して、確率過程 $X$ が法則的に $Y$-適応過程によって近似可能となる条件は何か？
• RQ2 $X$-周辺分布をこのような近似で保持できるか、その条件は何か？
• RQ3 $X$ と $Y$ の適合性と、因果的結合空間における適応結合の稠密性との関係は何か？
• RQ4 SDEの強い解が存在しない場合、因果的結合集合における極点構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 最適化を $Y$-適応制御に制限せずに、より大きな適合フィルトレーションに拡張しても最適性を失わないか？

主な発見

• 離 discrete 時間では、適合性および $Y_1$ の非原子性の下で、$X$ と同じ法則を持つ $Y$-適応過程の集合は、$(X,Y)$ の連合法則において稠密である。
• 連続時間では、同様の適合性および $t>0$ における $Y_t$ の非原子性の下で、$Y$-適応過程の集合は、$(X,Y)$ の連合法則において稠密であるが、$X$-周辺分布を一般には保持できない。
• $Y$-適応結合の閉包は、$X$-周辺分布を固定するかしないかにかかわらず、すべての因果的結合の集合に等しい。
• 連続時間において、適合性が成立しても、特定の $X$ と $Y$ に対して $Y$-適応結合が存在しない例を構成した。
• 定理 8.1 は、${\mathbb{F}}^Y$-適応制御の最適化が、より大きな適合フィルトレーションの最適化と等価であることを示しており、制御制約の緩和を可能にする。
• 因果的結合の集合は凸であるが、連続時間では、適応結合の集合が極点の集合であるとは限らない。これは離散時間または確率的停止時刻の場合とは異なり、異なる。