[論文レビュー] Density of Self-Dual Automorphic Representations of GL_n(A_Q)

Vítězslav Kala|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$GL_n(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ の有界ラプラシアン固有値をもつ自己双対なカスプ的自動形式表現の数について、弱いウェイルの法則を確立する。$d = n^2 + n$ として、$\lambda^{d/2}$ の多項式的成長を示す。$n = 2m$ が偶数の場合、最大コン pact 部分群 $K$ に対して $K$-球面的である表現について、明示的な誤差項 $o(\lambda^{d/2})$ をもつウェイルの法則がさらに証明される。この結果は、古典的群への関手的降下および無限小特性と深さの解析を用いる。

ABSTRACT

We study the number $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)$ of self-dual cuspidal automorphic representations of $GL_N(\mathbb{A_Q})$ which are $K$-spherical with respect to a fixed compact subgroup $K$ and whose Laplacian eigenvalue is $\leq λ$. We prove Weak Weyl's Law for $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)$ in the form that there are positive constants $c_1, c_2$ (depending on $K$) and $d$ such that $c_1λ^{d/2}\leq N_{\mathrm{sd}}^K(λ)\leq c_2λ^{d/2}$ for all sufficiently large $λ$. When $N=2n$ is even and $K$ is a maximal compact subgroup at all places, we prove Weyl's Law for the number of self-dual representations, i.e., $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)=cλ^{d/2}+o(λ^{d/2})$. These results are based on considering functorial descents of self-dual representations $Π$ to quasisplit classical groups $\mathbf G$. In order to relate the properties of representations under functoriality, we discuss the infinitesimal character of the real component $Π_\infty$, which determines the Laplacian eigenvalue. To relate the existence of $K$-fixed vectors, we study the depth of $p$-adic representations, proving a weak version of depth preservation. We also consider the explicit construction of local descent, which allows us to improve the results towards depth preservation for generic representations.

研究の動機と目的

• 有界ラプラシアン固有値をもつ $GL_n(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ の自己双対なカスプ的自動形式表現の漸近的密度を特定すること。
• 自己双対な表現が、自動形式表現の全スペクトル内で正の密度をもつかどうかを調査すること。
• このような表現の数の正確な漸近的成長率（ウェイル型の法則）を、$K$-不変ベクトルをもつ場合に確立すること。
• 関手性を通じて、スペクトルデータを群間で関連付けるために、無限小特性と深さの振る舞いを分析すること。

提案手法

• ラングランズの関手性を用いて、$GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ の自己双対な自動形式表現を、特に $SO_{2n+1}$ および $Sp_{2n}$ を含む、準分裂古典的群 $\mathbf{G}$ に降下させる。
• $GL_N$-表現 $\Pi$ のラプラシアン固有値 $\lambda(\Pi)$ を、$\mathbf{G}$ 上の降下表現 $\pi$ の固有値 $\lambda(\pi)$ に線形変換 $\lambda(\Pi) = c_G \lambda(\pi) + d_G$ で関連付ける。
• アーキメデス的成分 $\Pi_\infty$ の無限小特性を分析して、ラプラシアン固有値を制御し、スペクトル一致を保証する。
• $p$-進成分の深さを研究して、$K$-固定ベクトルの存在を理解し、降下における深さの弱い保存性を証明する。
• 明示的な局所的降下構成を用いて、一般表現に対して深さ保存性の結果を強化する。
• 既知の古典的群（例えば $SO_{2n+1}$）におけるウェイルの法則の結果を応用し、自己双対な $GL_N$-表現の数の下界および上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラシアン固有値 $\leq \lambda$ をもつ $GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ の自己双対なカスプ的自動形式表現の数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 自己双対な表現の集合は、自動形式表現の全スペクトル内で正の密度をもつか？
• RQ3 どのような条件下で自己双対な表現に対してウェイルの法則が成り立ち、正確な誤差項は何か？
• RQ4 $p$-進表現の深さは関手的降下においてどのように振る舞い、弱い意味で保存可能か？
• RQ5 自己双対な $GL_N$-表現のスペクトルデータ（固有値）は、関手性を通じて古典的群のそれらと関連づけられるか？

主な発見

• 任意の $N = 2n + \varepsilon$ に対して、$GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ の $K(M)$-球面的で自己双対なカスプ的自動形式表現の数 $N^{K(M)}_{\mathrm{sd}}(\lambda)$ は、$\lambda$ が十分大きいとき、$c_1 \lambda^{d/2} \leq N^{K(M)}_{\mathrm{sd}}(\lambda) \leq c_2 \lambda^{d/2}$ を満たす。ここで $d = n^2 + n$ である。
• $N = 2n$ が偶数であり、すべての場所で $K$ が最大コン pact であるとき、ウェイルの法則が成り立つ：$N^{K}_{\mathrm{sd}}(\lambda) = c \lambda^{d/2} + o(\lambda^{d/2})$ であり、$c$ は明示的な正の定数である。
• 自己双対な表現の数の主な寄与は、$SO_{2n+1}(\mathbb{A})$ に降下する表現に起因し、他の寄与は低次の項である。
• $GL_N$-表現 $\Pi$ のラプラシアン固有値は、その降下 $\pi$ の固有値と $\lambda(\Pi) = c_G \lambda(\pi) + d_G$ の関係で結びついており、これによりスペクトル転送が可能になる。
• 最大 $K$ の場合、$K$-球面的で自己双対な $GL_N$-表現の数は、$\mathbf{G}$ 上の $K'$-球面的カスプ形式の数と漸近的に同値であり、これはウェイルの法則を満たす。
• 証明は、すべての場所で $K$ が最大であるという仮定に強く依存しており、そうでない場合には固定ベクトルやパケットサイズに関する必要な推定が成り立たない。