[論文レビュー] Dequantization of Mathematics, idempotent semirings and fuzzy sets

G. L. Litvinov|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

Fuzzy Logic and Control Systems参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、加法が冪等的（x ⊕ x = x）である代数的構造としての冪等半環を、特に最適化とファジィ論理の文脈において、従来の数学の脱量子化（dequantization）の基盤として導入する。標準的な算術をmaxとプラス（例：R_max）のような演算に置き換えることで、非線形問題（例：ハミルトニアン＝ヤコビ方程式）が線形化され、冪等対応原理により、効率的なアルゴリズムとハードウェア設計が可能になる。

ABSTRACT

In this talk a brief survey of basic ideas of Idempotent Mathematics is presented. Relations between this theory and the theory of fuzzy sets as well as the possibility theory and some applications (including computer applications) are discussed.

研究の動機と目的

• 従来の数学の『シャドウ』としての冪等半環に基づく数学的枠組みを確立すること。これは、量子理論に対する古典的物理学との類似に相当する。
• プランク定数 h → 0+ の極限における脱量子化プロセスを検討し、R_max や R_min のような冪等構造が得られることを明らかにすること。
• 従来の数学において非線形である問題が、冪等半環において線形化されることを示し、新たなアルゴリズム的・計算的アプローチを可能にすること。
• 関数を冪等半環 S に値としてとる一般化されたファジィ集合を用いて、ファジィ集合論と可能性論を統一的かつ一般化すること。
• 普遍的な半環ベースの計算モデルを通じて、効率的で並列化可能なアルゴリズムとハードウェア設計を可能にすること。

提案手法

• maxとプラス（例：R_max = R ∪ {−∞} で x ⊕ y = max{x,y}、x ⊙ y = x + y）などの演算を用いて、冪等半環および半体を定義する。
• マスロフの脱量子化を適用：R_+ を u = h ln x で写像し、h → 0 の極限で標準算術を冪等演算に変換する。
• 冪等対応原理を用いて、古典的数学の結果（特に線形系と最適化）を冪等アナログに移行する。
• 宇宙 Ω から冪等半環 S への関数として一般化されたファジィ集合を構成し、点ごとの演算により新たな半環 F(S) を定義する。
• 区間分析を冪等半環に拡張し、下限と上限による区間演算を定義し、新たな冪等半環 I(S) を構成する。
• 抽象的半環演算を扱えるオブジェクト指向的・ジェネリックプログラミングを用いた汎用アルゴリズムを開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体上の従来の数学が、極限 h → 0 を用いてどのように冪等アナログに脱量子化されるか？
• RQ2 古典的解析における非線形問題が、R_max のような冪等半環においてどれほど線形化されるか？
• RQ3 値が冪等半環にとられる一般化されたファジィ集合はどのように定義され、その代数的構造は何か？
• RQ4 古典的区間解析と比較して、冪等区間解析がもたらす計算上の利点は何か？
• RQ5 冪等対応原理は、新たなハードウェアおよび並列アルゴリズムの設計をどのように導くか？

主な発見

• ハミルトニアン＝ヤコビ方程式は、R_max および R_min 半環において線形化され、新たな解法が可能になる。
• 冪等区間解析では、古典的区間解析がNP困難であるのに対し、多項式時間で解ける問題が得られる。
• 離散定常ベルマン方程式について、冪等フレームワーク内で正確な区間解が構成された。
• 半環 F(S) 上の一般化されたファジィ集合は、古典的ファジィ集合（ザデフ）および L-ファジィ集合（ゴーゲン）を一般化し、より豊かな代数的構造を持つ。
• 区間の半環 I(S) は冪等半環構造を備えており、区間値ファジィ論理および可能性論の実装が可能になる。
• 抽象的半環演算に基づく汎用アルゴリズムにより、プロトタイピングを経てハードウェア設計が可能となり、特許可能な技術的イノベーションの可能性を有する。