[論文レビュー] Derandomizing the Isolation Lemma and Lower Bounds for Circuit Size

V. Arvind, Partha Mukhopadhyay|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、制限付きの隔離補題の確率的除去が、非可換および可換算術回路における強い回路サイズ下界を示すことを確立している。多項式恒等的テストと隔離補題を結びつけることで、回路における重み割り当ての確率的除去が、NEXP⊄P/poly または恒等式の永久的表現が多項式サイズの算術回路を持たないことを示すことを示している。

ABSTRACT

The isolation lemma of Mulmuley et al \cite{MVV87} is an important tool in the design of randomized algorithms and has played an important role in several nontrivial complexity upper bounds. On the other hand, polynomial identity testing is a well-studied algorithmic problem with efficient randomized algorithms and the problem of obtaining efficient \emph{deterministic} identity tests has received a lot of attention recently. The goal of this note is to compare the isolation lemma with polynomial identity testing: 1. We show that derandomizing reasonably restricted versions of the isolation lemma implies circuit size lower bounds. We derive the circuit lower bounds by examining the connection between the isolation lemma and polynomial identity testing. We give a randomized polynomial-time identity test for noncommutative circuits of polynomial degree based on the isolation lemma. Using this result, we show that derandomizing the isolation lemma implies noncommutative circuit size lower bounds. The restricted versions of the isolation lemma we consider are natural and would suffice for the standard applications of the isolation lemma. 2. From the result of Klivans-Spielman \cite{KS01} we observe that there is a randomized polynomial-time identity test for commutative circuits of polynomial degree, also based on a more general isolation lemma for linear forms. Consequently, derandomization of (a suitable version of) this isolation lemma also implies circuit size lower bounds in the commutative setting.

研究の動機と目的

• 確率的除去された隔離補題と回路サイズ下界の証明との間の関係を調査すること。
• 制限付きの隔離補題の確率的除去が非自明な複雑性理論的結果をもたらすかどうかを調査すること。
• 多項式恒等的テストに用いられる隔離補題の確率的除去が、非可換および可換回路に与える影響を確立すること。
• 隔離補題の有用性を主要なアルゴリズム的応用で保つ確率的除去仮説を定式化・分析すること。
• 特定の隔離補題の確率的除去が、主要な複雑性クラスの分離または回路下界を示すことを示すこと。

提案手法

• 回路固有の重み関数に基づく仮説（仮説1）と、特定サイズのすべての回路に対して一様に生成される重み関数に基づく仮説（仮説2）の2つの確率的除去仮説を提案する。
• 変数をランダム重みに基づく変数の累乗に置き換えることで、非可換回路のためのランダム化多項式時間恒等的テストを隔離補題を用いて構築する。
• 有理多項式上の線形形式の一般化された隔離補題に依存する、可換回路のためのKlivans-Spielman恒等的テストを適用する。
• これらの隔離補題の確率的除去を仮定し、Impagliazzo-KabanetsおよびValiant-Vaziraniの既知の結果と組み合わせることで回路下界を導出する。
• 任意の回路で定義された族において一意の最小重み集合を隔離する小さな重み関数の集合を生成する決定的アルゴリズムの存在を用いて、超指数的時間の決定的恒等的テストを導出する。
• モノミアル検出問題を回路受容問題に還元し、NEXP ⊆ P/poly の仮定を用いて確率的除去の下で矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きの隔離補題の確率的除去が、多項式次数の非可換算術回路における回路サイズ下界を示すか？
• RQ2 可換回路における隔離補題の確率的除去が、NEXP⊄P/poly または恒等式の永久的表現の算術回路サイズ下界をもたらすか？
• RQ3 隔離補題の確率的除去と、算術回路における超指数的時間の決定的恒等的テストの存在との間に、関係があるか？
• RQ4 Valiant-Vazirani補題は、隔離補題の場合と同様の回路下界を示すような方法で確率的除去可能か？
• RQ5 特定サイズおよび入力長のすべての回路に対して、一意の最小重み集合を隔離する重み関数を生成する決定的アルゴリズムの存在を仮定した場合の複雑性理論的結果は何か？

主な発見

• 仮説1（回路固有の重み生成）の確率的除去は、多項式次数の非可換算術回路が超多項式サイズを必要とすることを示す。
• 仮説2（サイズmのすべての回路に対する一様な重み生成）の確率的除去は、NEXP⊄P/poly または整数環 ℤ 上の恒等式が多項式サイズの算術回路を持たないことを示す。
• 可換回路におけるKlivans-Spielman隔離補題の確率的除去版を仮定すると、有理数 ℚ 上の多項式に対する超指数的時間の決定的恒等的テストが得られる。
• NEXP ⊆ P/poly を仮定すると、EXP完全言語へのオракルアクセスを持つ回路における隔離補題の確率的除去は、ある明示的な多項式が超多項式サイズの可換回路では計算不能であることを示す。
• この論文は、非可換回路における隔離補題の確率的除去が、ランダム重みを用いた単変数代入によるランダム化多項式時間恒等的テストをもたらすことを示している。
• 任意の回路で定義された族において一意の最小重み集合を隔離する小さな重み関数の集合を生成する決定的アルゴリズムの存在は、算術回路における超指数的時間の決定的恒等的テストをもたらす。