[論文レビュー] Derivation of the nonlinear Schrödinger equation from a many body Coulomb system

László Erdős, Horng‐Tzer Yau|ArXiv.org|Nov 22, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、ボソンのN体量子系を平均場極限N → ∞で取り扱うことで、非線形シュレーディンガー方程式（特にクーロンポテンシャルを伴うハートリー方程式）の厳密な導出を確立している。BBGKY階層の解の一意性を適切なソボレフ型ノルムで証明し、多体系シュレーディンガー方程式に対する事前推定を導出することで、相関関数が分解され、1粒子密度行列が非線形ハートリー方程式の解に収束することを示している。

ABSTRACT

We consider the time evolution of N bosonic particles interacting via a mean field Coulomb potential. Suppose the initial state is a product wavefunction. We show that at any finite time the correlation functions factorize in the limit $N o \infty$. Furthermore, the limiting one particle density matrix satisfies the nonlinear Hartree equation. The key ingredients are the uniqueness of the BBGKY hierarchy for the correlation functions and a new apriori estimate for the many-body Schrödinger equations.

研究の動機と目的

• N体量子系としてのN個のボソンにクーロン相互作用ポテンシャルを課した系を、平均場極限N → ∞において非線形ハートリー方程式に厳密に導出すること。
• 特異的（クーロン型）ポテンシャルを伴う場合に、無限大BBGKY階層の解の一意性という未解決問題を解き、かつ、従来は非有界性によって妨げられていた問題を克服すること。
• 初期状態が積状態であるという仮定の下で、N体相関関数が非線形ハートリー方程式が定める積型に収束することを確立すること。
• 長距離的で特異的相互作用（例：クーロンポテンシャル）を有する系に対しても平均場近似の有効性を拡張すること。これはプラズマや重力系において物理的に重要な系である。
• ソボレフ型ノルムにおける力学の制御を可能にする、多体系シュレーディンガー方程式に対する新たな事前推定を提供すること。これにより、従来のトレースノルム手法の制限を克服する。

提案手法

• N体シュレーディンガー方程式からBBGKY階層を形式的に導出し、k粒子相関関数の時間微分が(k+1)粒子関数と関係することを示す。
• 標準的H^1ノルムより弱い反復ソボレフ空間ノルムを用いて、ハーディーの不等式を介して非有界クーロンポテンシャルを制御し、特異性が存在する状況下でも推定を可能にする。
• 多体系シュレーディンガー方程式に対する新たな事前推定を確立し、ソボレフ型ノルムにおける相関関数の成長を制御する。
• 非線形ハートリー方程式の解から構成される積型関数に限定される形で、無限大BBGKY階層の解の一意性を証明する。
• コンact作用素の空間とトレースクラスの間の変分的双対性を用いて、作用素ノルムを制御し、ソボレフ空間とその双対空間との双対性を確立する。
• 初期状態が積状態波動関数であるという事実を用いて、極限における相関関数が分解されることを保証し、これにより平均場近似の正当化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N体量子系としてのボソンにクーロン相互作用ポテンシャルを課した系を、N → ∞の極限において非線形ハートリー方程式に厳密に導出することは可能か？
• RQ2 相互作用ポテンシャルが特異的（例：クーロン型）である場合、無限大BBGKY階層の解は一意的か？
• RQ3 有界ポテンシャルに用いられる従来のトレースノルム手法は、非有界で特異的ポテンシャル（例：|x|⁻¹）の状況に拡張可能か？
• RQ4 クーロン相互作用が存在する状況下で、多体系シュレーディンガー力学を制御するにはどのような事前推定が必要か？
• RQ5 相互作用が特異的であっても、平均場極限においてN体系の相関構造は分解するのか？

主な発見

• N体系の相関関数は極限N → ∞において分解する。初期状態が相関のない状態であれば、時間の経過とともに相関は無視可能になる。
• 極限における1粒子密度行列は、クーロンポテンシャルを伴う非線形ハートリー方程式を満たす。これはシュレーディンガー＝ポアソン系そのものである。
• 反復ソボレフノルムを用いることで、ハーディーの不等式を介して非有界クーロンポテンシャルを制御できるため、無限大BBGKY階層の解は一意的である。
• 多体系シュレーディンガー方程式に対する新たな事前推定が導出され、特異的相互作用が存在する状況下での力学の制御に不可欠である。
• ポテンシャルの有界性を仮定せず、N体相関関数がハートリー解の積型に収束することを確立した。これにより、従来の結果がクーロン系にまで拡張された。
• コンパクト作用素の空間とトレースクラスとの双対性を用いて、ソボレフ型空間の双対空間を厳密に同定し、一意性と収束の証明を可能にした。