[論文レビュー] Derivatives of Eisenstein series and arithmetic geometry

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Apr 16, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、signature (n,2) の Shimura 多様体上の codimension-2 サイクルの算術的生成関数と、Siegel Eisenstein 級数の導関数との間の推測的関係を提案する。これは n=2 の既知の結果を拡張するものである。導来交差理論と特殊関数を用いて、signature (1,1) または (0,2) の非特異的 T に対して恒等式を確立し、p-adic 一様化と特殊関数を用いていくつかのケースを証明している。特異的 T でランク 1 の場合については現在進行中の研究である。

ABSTRACT

We describe connections between the Fourier coefficients of derivatives of Eisenstein series and invariants from the arithmetic geometry of the Shimura varieties $M$ associated to rational quadratic forms $(V,Q)$ of signature $(n,2)$. In the case $n=1$, we define generating series $\hatϕ_1(τ)$ for 1-cycles (resp. $\hatϕ_2(τ)$ for 0-cycles) on the arithmetic surface $\Cal M$ associated to a Shimura curve over $\Bbb Q$. These series are related to the second term in the Laurent expansion of an Eisenstein series of weight $\frac32$ and genus 1 (resp. genus 2) at the Siegel--Weil point, and these relations can be seen as examples of an `arithmetic' Siegel--Weil formula. Some partial results and conjectures for higher dimensional cases are also discussed.

研究の動機と目的

• signature (2,2) の場合から、signature (n,2) の高次元 Shimura 多様体への算術的サイクルの生成関数の理論を拡張すること。
• codimension-2 サイクルの生成関数と、重み 32 の Siegel Eisenstein 級数の s=0 における導関数との間の推測的恒等式を確立すること。
• 算術 Chow 群におけるサイクル類を通じて、Eisenstein 級数の導関数の枠組みを高次元算術幾何学へ一般化すること。
• Sym₂(ℤ) 内のさまざまなタイプの対称行列 T、特に正則、不規則、非特異的 (1,1) または (0,2) の signature を持つ場合について、推測的恒等式を検証すること。
• 現在の手法が制限される p=2 の場合にまで既知の結果を拡張し、Rapoport および Yang との共同作業により、ランク 1 の特異的 T についての証明を完了すること。

提案手法

• 垂直サイクル $ Z(t_1) $ および $ Z(t_2) $ の構造層の導来テンソル積の Eüler–Poincaré 特性として、算術的高さペアリング $ \text{Zh}(T,v) $ を定義し、$ \text{CH}^2(\tilde{M}) \otimes \mathbb{R} $ に値をとる。
• 非特異的 T が signature (1,1) または (0,2) の場合、Hermitian 領域 D 上の Green 関数の *-積の積分として $ \Lambda(\mathbf{x}) $ を定義し、O(2) に対して不変である。
• 群 $ \Gamma $-軌道上の $ \mathbf{x} \in L^2 $ の対で $ Q(\mathbf{x}) = T $ を満たすものについて、$ \Lambda(\mathbf{x}a) $ の直交変換に関する不変性を用いて $ \text{Zh}(T,v) $ を和として構成する。
• 正則な場合（p∤2D(B)）には Kitaoka の局所表現密度 $ \alpha_p(S,T) $ の公式を用い、不規則な場合には Yang による一般 S への拡張を用いる。
• p-adic 一様化の設定において、Gross および Keating の p-分岐群間の同種写像の変形に関する結果を応用し、$ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $ を計算する。
• Shimura の理論を用いて、$ \Lambda(\mathbf{x}) $ を行列引数の逐次超幾何関数の s=0 における導関数と関連づけ、定理 3 の不変性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 signature (n,2) の Shimura 多様体上の codimension-2 算術的サイクルの生成関数 $ \hat{\phi}_2(\tau) $ は、重み 32 の Siegel Eisenstein 級数の s=0 における導関数と同一視可能であろうか？
• RQ2 算術的高さペアリング $ \text{Zh}(T,v) $ は直交群 O(2) の作用に対してどのように振る舞い、その性質が定義の整合性を保証するのか？
• RQ3 Eisenstein 級数の導関数のフーリエ係数と算術的交差数 $ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $ の間の正確な関係は何か？
• RQ4 不規則な場合における制限 p≠2 をどのように取り除くことができ、Kitaoka および Yang の結果を p=2 にまで拡張できるか？
• RQ5 推測的恒等式はランク 1 の特異的 T にまで拡張可能であろうか？この場合、p-分岐群間の同種写像の変形理論は果たす役割は何か？

主な発見

• signature (1,1) または (0,2) の非特異的 T に対して、推測的恒等式 $ \mathcal{E}'_2(\tau,0;D(B)) \overset{?}{=} \hat{\phi}_2(\tau) $ が成り立ち、$ \text{Zh}(T,v) $ が Eisenstein 級数のフーリエ係数と一致する。
• p \nmid 2D(B) の正則的 T に対して、フーリエ係数 $ \mathcal{E}'_{2,T}(\tau,0;D(B)) $ は Kitaoka の局所表現密度の公式により計算される。
• p ≠ 2 の不規則的 T に対して、Euler–Poincaré 特性 $ \chi(Z(T), \mathcal{O}_{Z(t_1)} \otimes^L \mathcal{O}_{Z(t_2)}) $ は p-adic 一様化を用いて計算され、\cite{krinvent} の結果に依拠している。
• signature (0,2) の場合、Shimura の理論を用いて $ \Lambda(\mathbf{x}) $ を行列引数の逐次超幾何関数の s=0 における導関数と関連づけることで証明された。
• O(2) に対して $ \Lambda(\mathbf{x} \cdot k) = \Lambda(\mathbf{x}) $ となる不変性は、$ \text{Zh}(T,v) $ が $ v = a^t a $ を満たす a の選び方に依存しないことを保証する上で不可欠である。
• ランク 1 の特異的 T についての推測の検証は、Rapoport および Yang との共同作業で現在進行中であり、高さ 2、次元 1 の $ \overline{\mathbb{F}}_p $ 上の p-分岐群間の同種写像の変形理論を用いてほぼ完了している。