[論文レビュー] Derived categories of (one-sided) exact categories and their localizations

Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正確かつ片側正確な圏の有界導来圏に対して、垂れ流し部分圏におけるヴェルディエ Localization 系列を確立する。局所化は、まず射の類に沿って局所化することで片側正確な圏を得る二段階のプロセスを経て、その正確な包への埋め込みによって導来同値性を誘導する。主な結果は、商圏の導来圏が元の導来圏のヴェルディエ商であることであり、強化構造と整合的であり、非連結 K-理論などの不変量に適用可能である。

ABSTRACT

We consider the quotient of an exact or one-sided exact category $\mathcal{E}$ by a so-called percolating subcategory $\mathcal{A}$. For exact categories, such a quotient is constructed in two steps. Firstly, one localizes $\mathcal{E}$ at a suitable class $S_\mathcal{A} \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{E})$ of morphisms. The localization $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ need not be an exact category, but will be a one-sided exact category. Secondly, one constructs the exact hull $\mathcal{E}{/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ of $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ and shows that this satisfies the 2-universal property of a quotient amongst exact categories. In this paper, we show that this quotient $\mathcal{E} o \mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ induces a Verdier localization $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A})$ of bounded derived categories. Specifically, (i) we study the derived category of a one-sided exact category, (ii) we show that the localization $\mathcal{E} o \mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ induces a Verdier quotient $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E}[S^{-1}_\mathcal{A}])$, and (iii) we show that the natural embedding of a one-sided exact category $\mathcal{F}$ into its exact hull $\overline{\mathcal{F}}$ lifts to a derived equivalence $\mathbf{D}^b(\mathcal{F}) o \mathbf{D}^b(\overline{\mathcal{F}})$. We furthermore show that the Verdier localization is compatible with several enhancements of the bounded derived category, so that the above Verdier localization can be used in the study of localizing invariants, such as non-connective $K$-theory.

研究の動機と目的

• アーベル圏や正確圏よりも一般な片側正確圏への導来圏理論の拡張。
• 片側正確圏とその正確な包との間の導来同値性を確立し、ホモロジカル不変量を保存すること。
• 垂れ流し部分圏における局所化が、有界導来圏にヴェルディエ局所化を誘導することを示すこと。
• 導来局所化が dg 構造や ∞-圏的構造などの強化と整合することを示すこと。
• 局所的にコンパクトなアーベル群や関連圏への応用を示し、その導来圏が局所化に対してうまく振る舞うことを示すこと。

提案手法

• 片側正確圏の導来圏を、有界複体と適合する quasi-isomorphism に基づいて定義する。
• 正確圏 E から E[S_A^{-1}] への局所化関手を構成する。ここで S_A は垂れ流し部分圏 A に関連する右乗法的系である。
• E[S_A^{-1}] がクィルレンの意味での正確圏でなくても、片側正確圏であることを証明する。
• E[S_A^{-1}] の正確な包を、それを含む最小の正確圏として構成し、E//A と表記する。
• 片側正確圏をその正確な包に埋め込むことで、有界導来圏に導来同値性が誘導されることを示す。
• 導来局所化が dg 構造および ∞-圏的強化と整合することを確立し、K-理論不変量への適用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確圏を垂れ流し部分圏で局所化すると、その有界導来圏にヴェルディエ局所化が誘導されるか？
• RQ2 片側正確圏の導来圏は意味的に定義可能であり、その正確な包の導来圏と比較可能か？
• RQ3 局所化された片側正確圏の正確な包の導来圏は、元の圏の導来圏と同値か？
• RQ4 導来局所化は、dg 強化や ∞-圏的構造といった高階圏的強化とどのように作用するか？
• RQ5 この枠組みは、局所的にコンパクトなアーベル群の圏のような非アーベル的状況に適用可能か？

主な発見

• 局所化 E → E[S_A^{-1}] は、D^b(E) → D^b(E[S_A^{-1}]) というヴェルディエ商を誘導し、その核は A に値をとる複体によって生成される。
• 正確な包の構成 E[S_A^{-1}] → E//A は、D^b(E[S_A^{-1}]) ≃ D^b(E//A) という導来同値性を誘導する。したがって、正確な包の導来圏は局所化された圏の導来圏と同値である。
• 完全な導来局所化系列 D^b_A(E) → D^b(E) → D^b(E//A) が成立し、D^b_A(E) は A に値をとる複体が生成する厚い部分圏である。
• 片側正確圏とその正確な包との間の導来同値性は、dg 強化および ∞-圏的強化と整合的である。
• この枠組みは、局所的にコンパクトなアーベル群の圏に適用可能であり、この圏における局所化が正確な導来圏をもたらすことを示している。
• R0* を満たす射の射影的正確圏の弱いイドムプotent完備化は導来圏と整合的であり、有界導来圏上で三角同値を誘導する。