[論文レビュー] Derived varieties of complexes and Kostant's theorem for gl(m|n)

Mikhail Kapranov, Alexander Pimenov|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可換なdg代数構造を用いて、$ R\operatorname{Com}(V^\bullet) $ と表記される複体の系列の導来的拡張を導来スキームとして導入する。これは、座標環のスペクトルに関する古典的結果を拡張する。また、$ \mathfrak{gl}(m|n) $ の放物型部分代数のためのコホモロジー $ H^\bullet(\mathfrak{n}) $ の $ GL(V^\bullet) $-表現スペクトルが単純であることを証明する。つまり、各既約表現は高々一度ずつ現れる。これは、スペクトル系列と $ T $-加群の特徴分解を用いて、コスタントの定理を超代数的設定に一般化したものである。

ABSTRACT

Given a graded vector space V, the variety of complexes Com(V) consists of all differentials making V into a cochain complex. This variety was first introduced by Buchsbaum and Eisenbud and later studied by Kempf, De Concini, Strickland and many other people. It is highly singular and can be seen as a proto-typical singular moduli space in algebraic geometry. We introduce a natural derived analog of Com(V) which is a smooth derived scheme RCom(V). It can be seen as classifying twisted complexes. We study the cohomology of the dg-algebra of regular functions om RCom(V). It turns out that the natural action of the group GL(V) (automorphisms of V as a graded space) on the cohomology has simple spectrum. This generalizes the known properties of Com(V) and the classical theorem of Kostant on the Lie algebra cohomology of upper triangular matrices.

研究の動機と目的

• 可換dg代数構造を用いて、古典的な複体の系列 $ \operatorname{Com}(V^\bullet) $ を導来スキーム $ R\operatorname{Com}(V^\bullet) $ に拡張すること。
• $ \mathfrak{gl}(m|n) $ の任意の放物型部分代数に対して、コホモロジーのスペクトルに関するコスタントの定理を超代数的設定に一般化すること。
• 放物型部分代数 $ \mathfrak{m} \subset \mathfrak{gl}(m|n) $ に対して、$ H^\bullet(\mathfrak{n}) $ の $ GL(V^\bullet) $-表現スペクトルが単純であることを示すこと。すなわち、各既約表現が重複度1以下で現れることを示すこと。
• 分解 $ \mathfrak{m} = \mathfrak{u} \ltimes \mathfrak{n} $ に関連するスペクトル系列の微分が自明であることを示し、これによりコホモロジーのスペクトルが単純のままであることを保証すること。

提案手法

• 複体の系列 $ \operatorname{Com}(V^\bullet) $ の二次関係に、シジージと高次の関係を加えて完成化することで得られる可換dg代数 $ A^\bullet(V^\bullet) $ のスペクトルとして $ R\operatorname{Com}(V^\bullet) $ を構成する。
• その関手的性質を用いて $ R\operatorname{Com}(V^\bullet) $ を表現し、その点をボンダル＝カプラノフとセイデルの意味でのねじれ複体と同定する。
• Borel部分代数 $ \mathfrak{b} \subset \mathfrak{gl}(m|n) $ のコホモロジーを分析するために、スペクトル系列 $ E_2^{pq} = H^p(\mathfrak{u}, H^q(\mathfrak{n})) \Rightarrow H^{p+q}(\mathfrak{b}) $ を用いる。
• $ H^p(\mathfrak{u}, \Sigma^{[\alpha]}(V^\bullet)) $ の $ T $-加群構造を、公式 $ \bigotimes_{i=1}^n \mathbf{k}_{w_i(\alpha^{(i)} + \rho^{(i)}) - \rho^{(i)}} $ を用いて分析する。ここで $ w_i \in S_{r_i} $ である。
• 異なる $ p $-レベルからの $ T $-重みが互いに交わらないことから、非自明な写像が存在しないことを示し、スペクトル系列の微分が自明であることを証明する。
• 異なる $ p $-レベルからの $ T $-重みが交わらないことから、$ H^\bullet(\mathfrak{u}, \Sigma^{[\alpha]}(V^\bullet)) $ の重複度1の $ T $-スペクトルが、$ H^\bullet(\mathfrak{m}) $ の $ GL(V^\bullet) $-スペクトルの重複度1を示すことにつながる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来的拡張 $ R\operatorname{Com}(V^\bullet) $ は、$ GL(V^\bullet) $-作用のもとで単純な表現スペクトルの性質を保っているか？
• RQ2 コスタントの定理（ニルラジカルのコホモロジーのスペクトルに関するもの）は、超代数的設定における $ \mathfrak{gl}(m|n) $ の放物型部分代数へ拡張可能か？
• RQ3 分解 $ \mathfrak{m} = \mathfrak{u} \ltimes \mathfrak{n} $ に対して、スペクトル系列 $ E_2^{pq} = H^p(\mathfrak{u}, H^q(\mathfrak{n})) \Rightarrow H^{p+q}(\mathfrak{b}) $ の微分は自明か？
• RQ4 $ H^p(\mathfrak{u}, \Sigma^{[\alpha]}(V^\bullet)) $ の $ T $-重みが異なる $ p $-レベル間で交わるか？ そしてこれはスペクトルにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意の $ \mathfrak{gl}(m|n) $ の放物型部分代数に対して、$ H^\bullet(\mathfrak{n}) $ の $ GL(V^\bullet) $-表現スペクトルは単純であり、各既約表現は高々一度ずつ現れる。
• スペクトル系列 $ E_2^{pq} = H^p(\mathfrak{u}, H^q(\mathfrak{n})) \Rightarrow H^{p+q}(\mathfrak{b}) $ の微分は自明であり、異なる $ p $-レベルからの $ T $-重みが互いに交わらないからである。
• $ H^p(\mathfrak{u}, \Sigma^{[\alpha]}(V^\bullet)) $ の $ T $-加群は、$ w_i \in S_{r_i} $ を用いて $ \bigotimes_{i=1}^n \mathbf{k}_{w_i(\alpha^{(i)} + \rho^{(i)}) - \rho^{(i)}} $ の形の1次元表現の直和に同型である。
• $ E_2 $-ページにおける $ T $-加群の台は、異なる $ p $-レベルで互いに交わらないため、非自明な微分が生じない。
• 任意の既約表現の $ H^\bullet(\mathfrak{m}) $ における重複度は1以下である。そうでなければ $ T $-スペクトルが単純でなくなるため。