[論文レビュー] Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Advanced Mathematical Identities被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたHurwitz-Lerch型多重ゼータ関数に対して、それらを有限個の通常の多重ゼータ関数の和として表現することにより、すべての極を除去して整関数に変換する不規則性除去プロセスを導入する。主な結果は、不規則性除去された関数が整関数であり、特にEuler-Zagier型二重ゼータ関数に対して明示的な特殊値計算が可能になることである。また、p-進多重L関数およびp-進多重対数関数に関する既存の結果を、すべての正の整数でないインデックスへと拡張する。

ABSTRACT

We study analytic properties of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type. First, as a special type of them, we consider multiple zeta-functions of generalized Euler-Zagier-Lerch type and investigate their analytic properties which were already announced in our previous paper. Next we give `desingularization' of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type, which include those of generalized Euler-Zagier-Lerch type, the Mordell-Tornheim type, and so on. As a result, the desingularized multiple zeta-function turns out to be an entire function and can be expressed as a finite sum of ordinary multiple zeta-functions of the same type. As applications, we explicitly compute special values of desingularized double zeta-functions of Euler-Zagier type. We also extend our previous results concerning a relationship between $p$-adic multiple $L$-functions and $p$-adic multiple polylogarithms to more general indices with not-all-positive integers.

研究の動機と目的

• 一般化されたHurwitz-Lerch型多重ゼータ関数（Euler-Zagier-Lerch型およびMordell-Tornheim型を含む）に対する不規則性除去手続きの開発。
• 不規則性除去された関数が整関数であることを確立し、元のゼータ関数に存在する特異点を解消すること。
• Euler-Zagier型二重ゼータ関数の不規則性除去された関数の明示的特殊値の計算。
• p-進多重L関数とp-進多重対数関数の既知の関係性を、すべての正の整数でないインデックスへと拡張すること。

提案手法

• 元の一般化されたHurwitz-Lerch型関数の極を相殺するように、通常の多重ゼータ関数の有限線形結合を構成することで不規則性除去を達成する。
• 解析接続および一般化パラメータを伴う多重ゼータ関数級数の構造に依存する。
• 級数項の代数的変形により、すべての特異点を除去することで、得られる関数が整関数であることを保証する。
• Euler-Zagier-Lerchゼータ関数に関する既存の結果を一般化し、それらをより広範な一般化されたHurwitz-Lerch関数のクラスに埋め込む。
• 関数方程式およびゼータ関数の既知の解析的性質を用いて、有限和表現を導出する。
• p-進拡張は、p-進測度および非正のインデックスを伴う対数関数的関数に、関数の構造を適合させることで達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたHurwitz-Lerch型多重ゼータ関数の特異点は、どのようにして系として整関数を得られるように除去可能か？
• RQ2 不規則性除去された多重ゼータ関数は、通常の多重ゼータ関数の有限和としてどのように表現可能か？
• RQ3 Euler-Zagier型不規則性除去二重ゼータ関数の特殊値は何か？
• RQ4 p-進多重L関数とp-進多重対数関数の関係性は、すべての正の整数でないインデックスへとどのように拡張可能か？
• RQ5 一般化されたHurwitz-Lerchゼータ関数が、一様な不規則性除去手続きを可能にする構造的性質は何か？

主な発見

• 一般化されたHurwitz-Lerch型の不規則性除去された多重ゼータ関数は、元の関数に存在するすべての極を解消した整関数である。
• 不規則性除去された関数は、同じタイプの通常の多重ゼータ関数の有限和として表現可能であり、明示的な代数的構造を提供する。
• Euler-Zagier型不規則性除去二重ゼータ関数に対して明示的な特殊値が計算され、新たな算術的データが得られる。
• 本手法により、p-進多重L関数とp-進多重対数関数の関係性が、すべての正の整数でないインデックスへと拡張される。
• 一般化されたHurwitz-Lerchフレームワークにより、Euler-Zagier-Lerch型およびMordell-Tornheim型を含むさまざまなゼータ関数型が、同一の不規則性除去スキームに統一される。
• 不規則性除去された関数の整関数性により、数論および算術幾何学におけるさらなる解析的およびp-進的考察が可能になる。