[論文レビュー] Dessins on Modular Curves

Khashayar Filom, Ali Kamalinejad|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、dessin d'enfants理論を用いてモジュラー曲線上のBelyi関数を構成する2つの新しい手法を紹介し、モジュラー方程式およびj不変量の特別な値の明示的計算を可能にする。合同部分群の作用とモジュラー対合 $ z \mapsto -1/Nz $ の対称性を活用することで、CM点におけるj不変量の新しい代数的恒等式が導かれる。これには $ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $、$ j(\sqrt{3}i) = 16 \times 15^3 $ およびその他の例が含まれ、dessinに基づく手法が計算的整数幾何学における有効性を示している。

ABSTRACT

Given a finite index subgroup $Γ$ of ${ m{PSL}}_2(\Bbb{Z})$, we investigate Belyi functions on the corresponding modular curve $X(Γ)$ by introducing two methods for constructing such functions. Numerous examples have been worked out completely and as an application, we have derived modular equations for $Γ_0(2),Γ_0(3)$ and several special values of the $j$-function by a new method based on the theory of Belyi functions and dessin d'enfants.

研究の動機と目的

• dessin d'enfantsおよびBelyi関数を用いて、モジュラー曲線のための効果的な計算ツールを開発すること。
• Belyi関数に基づく新しい手法を用いて、$ \Gamma_0(2) $ および $ \Gamma_0(3) $ のモジュラー方程式を計算すること。
• dessインのモノドロミーと対称性を用いて、CM点におけるモジュラーj関数の新しい特別な値を特定すること。
• 特に捩れを含む合同部分群に対する代数的曲線の分岐被覆の明示的例を提供すること。
• これらのdessインに符号する楕円曲線の同種写像を通じて、Weierstrass ℘-関数の新しい恒等式を導出すること。

提案手法

• Belyi関数 $ f: X(\Gamma) \to \mathbb{CP}^1 $ を $ f([z]) = \frac{1}{1728}j(z) $ として構成し、$ \rho, i, \infty $ の軌道として黒・白の頂点および面の中心として分岐を特定する。
• Belyi関数のモノドロミー表現を用いて、$ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ の有限指数部分群 $ \Gamma \leq \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ に対してdessインd'enfantを明示的に記述する。
• 特に $ \Gamma_0(N) $ に対して有効な、モノドロミー記述がより単純なBelyi関数を構成する第二の手法を導入する。
• $ X_0(N) $ 上の正則対合 $ [z] \mapsto \left[ \frac{-1}{Nz} \right] $ を活用し、Belyi関数 $ f(z) = \frac{1}{1728}j(z) $ と $ g(z) = \frac{1}{1728}j(Nz) $ を関連付ける。
• $ \Gamma_0(N) $ のモジュラー方程式を、$ \mathbb{C}(f) $ 上の $ 1728g $ の最小対称多項式として導出する。
• 対合の固定点および新しいdessイン頂点における $ j $ の評価により、$ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $ などの特別な値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dessin d'enfants理論をどのように体系的に $ \Gamma_0(N) $ のモジュラー方程式の計算に応用できるか？
• RQ2 モジュラー曲線上のBelyi関数の頂点および対称性から、j関数のどの新しい特別な値が導かれるか？
• RQ3 Belyi関数のモノドロミー表現は、$ \Gamma \leq \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ の群論的構造をどのように反映するか？
• RQ4 $ X_0(N) $ 上の対合 $ z \mapsto -1/Nz $ を用いて、Belyi関数間の対称的代数的関係を生成できるか？
• RQ5 これらのdessインに符号する楕円曲線の同種写像から、Weierstrass $ \wp $-関数のどの新しい恒等式が生じるか？

主な発見

• $ X_0(2) $ 上のBelyi関数 $ f([z]) = \frac{1}{1728}j(z) $ は、有理関数 $ f(z) = \frac{1}{27} \frac{(z+3)^3}{(z-1)^2} $ を与え、$ z = \frac{3}{4} $ および $ z = \frac{9}{8} $ での評価により $ j(\rho/2) = 16 \times 15^3 $ および $ j(i/2) = 66^3 $ が得られる。
• $ X_0(3) $ に対しては、Belyi関数 $ f(z) = \frac{1}{64} \frac{z(z+8)^3}{(z-1)^3} $ が $ j(\rho/3) = -3 \times 160^3 $、$ j((i+1)/3) = (18-6\sqrt{3})(82-54\sqrt{3})^3 $、および $ j(i/3) = (18+6\sqrt{3})(82+54\sqrt{3})^3 $ を与える。
• $ X_0(N) $ 上の対合 $ z \mapsto -1/Nz $ は、Belyi関数 $ f(z) = \frac{1}{1728}j(z) $ と $ g(z) = \frac{1}{1728}j(Nz) $ を交換し、モジュラー方程式の対称性を保証する。
• 対合の固定点における $ j $ の評価により、$ j(\sqrt{2}i) = 20^3 $ および $ j(\sqrt{3}i) = 16 \times 15^3 $ が得られ、新しい特別な値が確認される。
• $ \Gamma_0(N) $ のモジュラー方程式は、$ \mathbb{C}(f) $ 上の $ 1728g $ の最小対称多項式として導出され、その対称性は対合に起因する。
• この手法により、同種写像を介してWeierstrass $ \wp $-関数の新しい恒等式が得られ、Remark 3で示されるように、これらは新規であると主張されている。