[論文レビュー] Detecting communities is hard, and counting them is even harder

Aviad Rubinstein|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ネットワークにおける$(\alpha,\beta)$-コミュニティの検出とカウントが計算的に困難であることを証明しており、指数時間仮説（ETH）および#ETHの下で準多項式時間が必要である。強い近似不能性の結果を確立しており、近似的に完璧なコミュニティを持つグラフと、弱く接続されたコミュニティを持たないグラフを区別することすら、定数$\alpha > \beta$に対しても困難であり、このようなコミュニティのカウントについても準多項式時間が必要である。

ABSTRACT

We consider the algorithmic problem of community detection in networks. Given an undirected friendship graph $G=\left(V,E ight)$, a subset $S\subseteq V$ is an $\left(α,β ight)$-community if: * Every member of the community is friends with an $α$-fraction of the community; * Every non-member is friends with at most a $β$-fraction of the community. Arora et al [AGSS12] gave a quasi-polynomial time algorithm for enumerating all the $\left(α,β ight)$-communities for any constants $α>β$. Here, we prove that, assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), quasi-polynomial time is in fact necessary - and even for a much weaker approximation desideratum. Namely, distinguishing between: * $G$ contains an $\left(1,o\left(1 ight) ight)$-community; and * $G$ does not contain an $\left(β+o\left(1 ight),β ight)$-community for any $β\in\left[0,1 ight]$. We also prove that counting the number of $\left(1,o\left(1 ight) ight)$-communities requires quasi-polynomial time assuming the weaker #ETH.

研究の動機と目的

• ネットワークにおける$(\alpha,\beta)$-コミュニティの検出の計算下界を確立すること、特に指数時間仮説（ETH）の下で行う。
• 近似的に完璧なコミュニティを持つグラフと、弱く接続されたコミュニティを持たないグラフを区別することですら、準多項式時間が必要であることを示すこと。
• $(1,o(1))$-コミュニティの数を数えることの難易度を、より弱い#ETH仮定の下で証明すること。
• Densest $k$-Subgraph やナッシュ均衡などの関連問題における近似不能性の結果を、コミュニティ検出問題へと拡張すること。

提案手法

• ラベルカバー問題からの還元を用いて、コミュニティ構造がラベルカバーインスタンスにおけるラベルの一貫性に対応するネットワークを構築する。
• 多項式とリスト復号に基づく構成を用い、ラベルカバーからの制約をグラフ構造に埋め込み、有効なコミュニティが一貫したラベル割り当てに対応することを保証する。
• 誕生日反復技術を適用してラベルカバーインスタンスのギャップを拡大し、強力な近似不能性の結果を得る。
• 補助頂点と注意深く分割された頂点集合を用いて弱い外部接続を強制し、一貫性があり外部次数が低いコミュニティのみが存在可能であることを保証する。
• マルコフの不等式と確率的議論を用いて、外部エッジ制約を満たす頂点の数を抑え、唯一小さな一貫性のあるコミュニティしか存在できないことを証明する。
• 合意集合の構造と多項式間の不一致率を活用して不一致違反を示し、任意の候補コミュニティにおける可能な割り当ての数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数$\alpha > \beta$に対して、標準的な複雑性仮定の下で、グラフにおける$(\alpha,\beta)$-コミュニティの検出が計算的に困難であるか？
• RQ2 $(1,\epsilon)$-コミュニティを持つグラフと、$(\beta+\epsilon,\beta)$-コミュニティを持たないグラフを区別するには、準多項式時間が必要か？
• RQ3 $(1,o(1))$-コミュニティの数を数えることの難易度は同様に高いか？ もしそうなら、どのような複雑性仮定の下で成立するか？
• RQ4 Densest $k$-Subgraph やナッシュ均衡などの問題で用いられる近似不能性の技術を、コミュニティ検出問題に適応可能か？

主な発見

• 指数時間仮説（ETH）の下で、$(1,\epsilon)$-コミュニティを持つグラフと、$(\beta+\epsilon,\beta)$-コミュニティを持たないグラフを区別するには、時間$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$が必要である。
• この下界は$\alpha = 1$かつ$\beta = 0.01$の場合でも成立し、外部接続が非常に弱いクリークを隠すことが計算的に困難であることを示している。
• #ETH仮定の下で、$(1,\epsilon)$-コミュニティの数を数えるには時間$n^{\log^{1-o(1)}n}$が必要であり、正確なカウントについても準多項式時間の難易度が示されている。
• 証明により、任意の$(\beta+\epsilon,\beta)$-コミュニティは変数ごとに最大$4/\epsilon$種類の異なる割り当てを誘導できることを示し、一貫したラベル割り当ての数を制限している。
• 補助頂点は、その高い多重度により弱い外部接続制約に違反するため、任意の有効なコミュニティから除外されることが示された。
• 健全性の議論では、マルコフの不等式と合意に基づく推論を用いて、ラベルカバーの値が低い場合、内部および外部エッジ条件を満たす大きなコミュニティは存在できないことを示している。