[論文レビュー] Detecting large groups

Marc Lackenby|ArXiv.org|Feb 20, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限生成群の大きさが、プロフィニートおよびプロ-$p$完備化、$L^2$-ベッチ数、および有限指数部分群におけるホモロジー成長を通じて検出可能であることを確立する。主な貢献は、同型なプロフィニートまたはプロ-$p$完備化が、同等の大きさの性質を意味することを証明することであり、これにより新たな検出基準と、パラフリー群および3次元多様体群への応用が可能になる。

ABSTRACT

Let G be a finitely presented group, and let p be a prime. Then G is 'large' (respectively, 'p-large') if some normal subgroup with finite index (respectively, index a power of p) admits a non-abelian free quotient. This paper provides a variety of new methods for detecting whether G is large or p-large. These relate to the group's profinite and pro-p completions, to its first L2-Betti number and to the existence of certain finite index subgroups with 'rapid descent'. The paper draws on new topological and geometric techniques, together with a result on error-correcting codes.

研究の動機と目的

• 直接的な部分群解析を超える代数的不変量を用いて、有限生成群が大きいかどうかを同定するための新しい基準を開発すること。
• 大きさがプロフィニートおよびプロ-$p$不変量であることを確立すること、すなわち、同型な完備化が同等の大きさの性質を意味することを示すこと。
• $L^2$-ベッチ数と有限指数部分群におけるホモロジー成長を、群の大きさに関連付けること。
• これらの結果を弱くパラフリーな群および3次元多様体群に適用し、特定の位相的およびコhomological条件のもとで大きさを証明すること。
• ホモロジー成長および完備化不変量という概念を通じて、群論、3次元多様体位相、$L^2$-不変量という異なる分野を統合すること。

提案手法

• Lückの定理（$L^2$-ベッチ数が、有限指数正規部分群における通常の1次ベッチ数の漸近的成長率と関係すること）を用いる。
• 有限指数部分群におけるmod $p$ホモロジーの線形成長に関する結果を応用し、$d_p(G_i)/[G:G_i]$ の極限を通じて大きさを検出する。
• 定理5.1を用いて、正規$p$-被覆を通じてコサイクルを上に持ち上げ、その台が像に含まれ、独立なコhomology類の数が増加することを保証する。
• 定理6.1を用いて、1-セルの数に対して相対的に台のサイズが小さくなるコサイクルの部分空間を構成し、相対的サイズが0に近づくようにする。
• 列$\{G_i\}$に急速な減少条件を課し、$d_p(G_i)$の成長が十分に速くなるようにして、大きさを示す。
• これらの道具を組み合わせ、ホモロジー成長が線形的であり、相対的台サイズが0に近づくならば、群は$p$-大きく、相対的サイズの均一な下界が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群の大きさは、そのプロフィニート完備化から検出可能か？
• RQ2 プロ-$p$完備化が同型であることは、$p$-大きさの同値性を意味するか？
• RQ3 正の$L^2$-ベッチ数は、特に残余有限性の条件下で、大きさを意味するのか、その程度は？
• RQ4 有限指数部分群におけるホモロジー成長は、大きさの検出に用いられるのか。どのような条件がこれを保証するか？
• RQ5 どのような位相的または代数的条件が、3次元多様体群が$p$-大きく、特に$\mathbb{Z}_p$-コボルディズムのもとで成立するのか？

主な発見

• 2つの有限生成群が同型なプロフィニート完備化を持つならば、片方が大きければもう片方も大きくなる。
• 2つの有限生成群が素数$p$について同型なプロ-$p$完備化を持つならば、片方が$p$-大きく、もう片方も$p$-大きく、その逆も成り立つ。
• 正の$L^2$-ベッチ数をもち、虚的残余$p$-有限性をもつ有限生成群は、大きくなる。
• 1次ベッチ数が1より大きい弱くパラフリーな有限生成群は、大きくなる。
• 2つの閉じた3次元多様体が位相的に$\mathbb{Z}_p$-コボルディズムであるならば、それらの基本群は同時に$p$-大きく、その逆も成り立つ。
• ネストされた有限指数部分群列におけるmod $p$ホモロジーの線形成長は、コホモロジー類の相対的台サイズが0に近づく限り、群が大きくなることを示す。