[論文レビュー] Determinant Sums for Undirected Hamiltonicity

Andreas Björklund|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、時間計算量 $O^{*}(1.657^n)$ を達成するモンテカルロアルゴリズムを提示しており、50年近くにわたり変わっていなかった $O^{*}(2^n)$ の境界を打ち破った。この手法は、特徴が2の有限体上のラベル付きサイクル被覆和という、新しい代数的技法を用い、行列式の和算と代数的ふnowingを組み合わせることで、重み付きサイクル被覆を介してハミルトン閉路を効率的に検出する。

ABSTRACT

We present a Monte Carlo algorithm for Hamiltonicity detection in an $n$-vertex undirected graph running in $O^*(1.657^{n})$ time. To the best of our knowledge, this is the first superpolynomial improvement on the worst case runtime for the problem since the $O^*(2^n)$ bound established for TSP almost fifty years ago (Bellman 1962, Held and Karp 1962). It answers in part the first open problem in Woeginger's 2003 survey on exact algorithms for NP-hard problems. For bipartite graphs, we improve the bound to $O^*(1.414^{n})$ time. Both the bipartite and the general algorithm can be implemented to use space polynomial in $n$. We combine several recently resurrected ideas to get the results. Our main technical contribution is a new reduction inspired by the algebraic sieving method for $k$-Path (Koutis ICALP 2008, Williams IPL 2009). We introduce the Labeled Cycle Cover Sum in which we are set to count weighted arc labeled cycle covers over a finite field of characteristic two. We reduce Hamiltonicity to Labeled Cycle Cover Sum and apply the determinant summation technique for Exact Set Covers (Björklund STACS 2010) to evaluate it.

研究の動機と目的

• 近似50年間、変化しなかった未解決の $O^{*}(2^n)$ 時間境界を、代数的技法を用いて打ち破ること。
• ウーゲィンガーの2003年の調査における「未解決問題3.1」（NP困難問題の正確アルゴリズム）に応えること。
• 整数重み付きTSPに対して、多項式空間・確率的アルゴリズムを用いて結果を拡張すること。
• 独立集合のサイズを活用した構造的性質を活かし、二部グラフにおける実行時間を向上させること。
• 行列式の和算や代数的ふnowingといった代数的技法が、NP困難問題に対して超多項式の高速化をもたらす可能性を示すこと。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_2$ 上で重み付き・アークラベル付きサイクル被覆を数える新しい代数的定式化、すなわちラベル付きサイクル被覆和を導入する。
• $k$-パスに用いられる代数的ふnowing法にインspiredされた還元を用いて、ハミルトニアンサイクル問題をラベル付きサイクル被覆和の計算に還元する。
• Björklund（STACS 2010）の正確な集合被覆のための行列式和算技法を応用し、ラベル付きサイクル被覆和を効率的に評価する。
• $\mathbb{F}_2$ 上での行列乗算を用いて、部分集合 $X_1$ 内の頂点間の重み付きウォークの数を、行列 $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ を介して表現する。
• $GF(2^k)$ 上での高速フーリエ変換を用いて、有界な整数重みを持つTSPインスタンスにおいて、最小重みハミルトニアン閉路を効率的に抽出する。
• 頂点を $V_1$ と $V_2$ に確率的分割することで、サイクル被覆内のラベルなしアーク数を削減し、スパarselyまたは二部グラフの場合の実行時間を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的技法を用いて、未解決の $O^{*}(2^n)$ 時間境界を、無向ハミルトニアンサイクル問題で打ち破ることができるか？
• RQ2 $k$-パスに用いられる代数的ふnowグ法を、サイクル被覆の列挙を介してハミルトニアン閉路を検出できるように適応可能か？
• RQ3 二部グラフの構造的性質を活かすことで、一般ケースと比較して著しく高速なアルゴリズムが得られるか？
• RQ4 代数的技法と多項式空間を用いて、$c < 2$ の $O^{*}(c^n)$ 時間でTSP問題を解くことができるか？
• RQ5 小規模な整数辺重みを持つグラフにおいて、多項式空間代数的計算を用いて最小重みハミルトニアン閉路を効率的に見つけられるか？

主な発見

• 本稿は、時間計算量 $O^{*}(1.657^n)$ のモンテカルロアルゴリズムを提示しており、未解決の $O^{*}(2^n)$ の境界を、ほぼ50年ぶりに超多項式の改善を達成した。
• 独立集合のサイズが $i$ の二部グラフでは、アルゴリズムは $O^{*}(2^{n-i})$ 時間で実行され、最悪ケースでは $O^{*}(1.414^n)$ にまで改善される。
• アルゴリズムは $n$ に対して多項式空間を用いるため、指数時間計算量であるが、大規模なインスタンスに対しても実用的である。
• この手法は、正の整数重み付きTSPに拡張可能であり、すべての辺重みの和が $w$ である場合、$O^{*}(w \cdot 1.657^n)$ 時間で問題を解ける。
• $GF(2^k)$ 上での高速フーリエ変換の使用により、代数的和から最小重みハミルトニアン閉路を効率的に抽出できる。
• 繰り返しの確率的分割と検証により、誤検出や誤検出なしに指数的になお小さい誤り確率を達成する。