[論文レビュー] Determinants of elliptic pseudo-differential operators

Maxim Kontsevich, S. M. Vishik|ArXiv.org|Apr 7, 1994

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 77

ひとこと要約

本稿は、閉多様体上の一般の楕円型擬微分作用素（PDO）のゼータ正則化行列式を定義するフレームワークを確立する。新たなトレース関数 TR を用いて、自然な行列式を定義する。乗法的異常（multiplicative anomaly）を通じて、行列式構成における隠れた二次非線形性が明らかになり、これは記号を用いて完全に特徴づけられる。特に、自然なクラスの PDO に対して、奇数次元多様体上ではこの乗法的異常は恒等的に消える。

ABSTRACT

Determinants of invertible pseudo-differential operators (PDOs) close to positive self-adjoint ones are defined throughthe zeta-function regularization. We define a multiplicative anomaly as the ratio $\det(AB)/(\det(A)\det(B))$ considered as a functionon pairs of elliptic PDOs. We obtained an explicit formula for the multiplicative anomaly in terms of symbols of operators. For a certain natural classof PDOs on odd-dimensional manifolds generalizing the class of ellipticdifferential operators, the multiplicative anomaly is identically $1$. For elliptic PDOs from this class a holomorphic determinant and a determinant for zero orders PDOs are introduced. Using various algebraic, analytic, and topological tools we study local and global properties of the multiplicative anomaly and of the determinant Lie group closely related with it. The Lie algebra for the determinant Lie group has a description in terms of symbols only. Our main discovery is that there is a {\em quadratic non-linearity} hidden in the definition of determinants of PDOs through zeta-functions. The natural explanation of this non-linearity follows from complex-analytic properties of a new trace functional TR on PDOs of non-integer orders. Using TR we easily reproduce known facts about noncommutative residues of PDOs and obtain several new results. In particular, we describe a structure of derivatives of zeta-functions at zero as of functions on logarithms of elliptic PDOs. We propose several definitions extending zeta-regularized determinants to general elliptic PDOs. For elliptic PDOs of nonzero complex orders we introduce a canonical determinant in its natural domain of definition.

研究の動機と目的

• 既存の手法の範囲を超えて、一般の楕円型 PDO に対してゼータ正則化行列式を定義すること。
• 行列式の乗法性の中心的障害たる乗法的異常 det(AB)/(det(A)det(B)) を解消すること。
• 対数記号と新たなトレース関数 TR を用いて、複素数非整数位の楕円型 PDO に対して、自然な行列式を構成すること。
• 行列式に Lie 群構造を定義し、その Lie 代数を記号の言語で記述すること。
• 対数記号が存在しない場合でも、行列式バンドル上の正則接続を用いて、PDO の族への行列式の拡張を可能にすること。

提案手法

• 非整数位の PDO に対して、導関数の s=0 におけるゼータ関数の振る舞いを制御する、自然なトレース関数 TR を導入する。
• ゼータ正則化を用いて、非ゼロ位の楕円型 PDO に対して detζ(A) = exp(−ζ′A(0)) を定義する。
• 乗法的異常 F(A,B) = det(AB)/(det(A)det(B)) を定義し、A と B の記号を用いた明示的公式を導出する。
• 行列式の Lie 群 G(M,E) = F₀\Ell₀×(M,E) を構成し、楕円記号上に C×-バンドル構造を定義する。
• 対数記号 l ∈ Slog(M,E) を用いて、行列式バンドル上に正則接続を導入し、記号対数の特異点を越えて行列式を解析接続可能にする。
• log A が存在しない場合でも、記号とトレース TR のみを用いて、自然な行列式 det(A) = d₁(A)/d̃₀(σ(log A)) を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数記号が定義されない場合を含め、ゼータ正則化行列式を一般の楕円型 PDO に一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 楕円型 PDO に対して、乗法的異常 F(A,B) の代数的構造は何か？ また、作用素の記号からどのように計算できるか？
• RQ3 無限次元的設定における楕円型 PDO の行列式がなぜ乗法的でないのか？ その背後にある隠れた非線形性は何か？
• RQ4 複素数非整数位の楕円型 PDO に対して、自然な行列式を定義できるか？ その定義域は何か？
• RQ5 対数記号に特異点が生じる正則的 PDO の族に対して、行列式はどのように振る舞うか？

主な発見

• 乗法的異常は記号の関数として明示的に計算され、行列式構成における二次非線形性が明らかになる。
• 自然なクラス（奇数位作用素）の楕円型 PDO に対して、奇数次元多様体上では乗法的異常は恒等的に消え、det(AB) = det(A)det(B) が成り立つ。
• 恒等元の連結成分に属するすべての複素数非ゼロ位の楕円型 PDO に対して、自然な行列式が定義され、ゼータ正則化行列式が拡張される。
• 行列式の Lie 群の Lie 代数は、自然なトレース TR を通じて、記号の言語で完全に記述される。
• 行列式バンドルは、対数記号によって定義される正則接続を備え、記号対数の特異点を越えて行列式を解析接続可能にする。
• log A(z) が存在する場合、detζ(A(z)) = exp(−∂s TR(exp(−s log A(z)))|s=0) が成り立ち、自然な行列式 det(A(z)) は正則セクションの比によって制御され、発散は B(z) = d̃₀(σ(log A(z)))/f₀(z) によって支配される。