[論文レビュー] Determinants of Laplacians in Exterior Domains

Andrew Hassell, Steve Zelditch|ArXiv.org|Feb 3, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、外部ラプラシアンの行列式を導入し、Burghelea-Friedlander-Kappeler型の手術公式を証明することで、単連結な平面外部領域の等位相的クラスの逐次的コンパクト性を確立する。主な貢献は、Osgood-Phillips-Sarnak枠組みを等スペクトル的から等位相的領域へ拡張し、熱不変量とスペクトル行列式不変量を用いることにある。

ABSTRACT

We consider classes of simply connected planar domains which are isophasal, ie, have the same scattering phase $s(ł)$ for all $ł> 0$. This is a scattering-theoretic analogue of isospectral domains. Using the heat invariants and the determinant of the Laplacian, Osgood, Phillips and Sarnak showed that each isospectral class is sequentially compact in a natural $C$-infinity topology. In this paper, we show sequential compactness of each isophasal class of domains. To do this we define the determinant of the exterior Laplacian and use it together with the heat invariants (the heat invariants and the determinant being isophasal invariants). We show that the determinant of the interior and exterior Laplacians satisfy a Burghelea-Friedlander-Kappeler type surgery formula. This allows a reduction to a problem on bounded domains for which the methods of Osgood, Phillips and Sarnak can be adapted.

研究の動機と目的

• 等スペクトル的領域におけるOsgood-Phillips-Sarnak枠組みを、等位相的領域の散乱理論的設定へ拡張すること。
• 散乱理論の文脈において、外部ラプラシアンの行列式を定義・分析し、スペクトル不変量としての役割を明らかにすること。
• 外部ラプラシアンの行列式と内部および全平面ラプラシアンの行列式を関連付ける手術公式を確立し、Burghelea-Friedlander-Kappeler公式に類似させること。
• 熱不変量と行列式不変量を用いて、境界曲率関数における$C^{ty}$位相での等位相的クラスの逐次的コンパクト性を証明すること。
• スペクトルそのもの以上のスペクトル不変量を用いて、ピンチングによる崩壊を防ぐことができる領域のクラスが、散乱位相によって定義されることを示すこと。

提案手法

• ゼータ正則化トレースとゼータ関数の解析接続を用いて、外部ラプラシアンの行列式を定義する。
• 行列式と熱不変量が等位相的不変量であることを証明し、同じ散乱位相の下で保存されることを示す。
• 領域の分解を介して、外部ラプラシアンの行列式と内部および全平面ラプラシアンの行列式を関連付ける手術公式を確立する。
• 関数計算とトレースノルム推定を用いて、リゾルベントの差がトレースクラスであることを示し、行列式の定義を可能にする。
• 多項的同次関数とハダマール正則化積分のための押し出し定理を適用し、スペクトル積分の漸近展開を導出する。
• 手術公式を用いて問題を有界領域に還元し、Osgood-Phillips-Sarnakのコンパクト性議論を適応可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Osgood, Phillips, Sarnakの等スペクトル的コンパクト性結果を、等位相的領域の散乱理論的設定へ拡張することは可能か？
• RQ2 外部領域におけるラプラシアンの行列式の適切な類似物は何か？ そして、どのように厳密に定義できるか？
• RQ3 外部ラプラシアンの行列式と内部および全平面ラプラシアンの行列式を関連付ける手術公式は存在するか？
• RQ4 熱不変量と外部行列式の組み合わせを用いて、$C^{ty}$位相における等位相的クラスの逐次的コンパクト性を証明できるか？
• RQ5 スペクトル不変量のみを用いて、例えばピンチングによって崩壊するような領域の列を等位相的クラスから排除することは可能か？

主な発見

• ゼータ正則化を用いて、外部ラプラシアンの行列式は適切に定義されており、等位相的不変量であることが示された。
• 外部ラプラシアンの行列式と内部および全平面ラプラシアンの行列式を関連付ける手術公式が確立され、Burghelea-Friedlander-Kappeler公式が一般化された。
• 外部領域における熱不変量$a_j$が等位相的不変量であることが示され、Melroseの結果が散乱設定へ拡張された。
• 熱不変量と行列式不変量の組み合わせにより、境界曲率関数における$C^{ty}$位相での等位相的クラスの逐次的コンパクト性が保証された。
• リゾルベントの差$( ilde{ riangle}+ u)^{-1} - ( riangle_{ ext{full}}+ u)^{-1}$がトレースクラスであることを示すことで、行列式の定義に依存している。
• ハダマール正則化積分と多項的同次関数のための押し出し定理の使用により、手術公式に不可欠な漸近展開が導出された。