[論文レビュー] Determining Acceptance Possibility for a Quantum Computation is Hard for the Polynomial Hierarchy

Stephen Fenner, Frederic Green+2 more|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、量子計算が非ゼロの受容確率を持つかどうかを決定することは、多項式階層（PH）に対して難しいことを確立しており、問題が複雑性クラスcoC$_=$Pに完全であることを示している。著者らは、量子版のNPであるNQPがcoC$_=$Pに等しいことを証明することで、このような受容意思決定がPHに属する問題と同程度に難しいことを示しており、量子計算検証の根本的な計算的限界を強調している。

ABSTRACT

It is shown that determining whether a quantum computation has a non-zero probability of accepting is at least as hard as the polynomial time hierarchy. This hardness result also applies to determining in general whether a given quantum basis state appears with nonzero amplitude in a superposition, or whether a given quantum bit has positive expectation value at the end of a quantum computation. This result is achieved by showing that the complexity class NQP of Adleman, Demarrais, and Huang, a quantum analog of NP, is equal to the counting class coC$_=$P.

研究の動機と目的

• 量子計算が非ゼロの受容確率を持つかどうかを決定する問題の計算複雑性を調査すること。
• 特に多項式階層（PH）を含む、量子複雑性クラスと古典的複雑性クラスの関係を分析すること。
• 量子受容可能性の意思決定問題の正確な複雑性を確立すること。
• 量子基底状態と期待値が量子計算検証において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、量子マシンの非ゼロ受容確率を持つ問題を捉える量子複雑性クラスNQP（NPの量子版）を定義し、分析している。
• 彼らはNQPが、C$_=$P（正確な等価性を持つカウント問題）の補集合に属する問題からなる古典的カウントクラスcoC$_=$Pに等しいことを証明している。
• 代数的および組合せ的技法を用いて、受容問題を二値行列および多項式上のカウント問題に還元している。
• 非ゼロ受容がcoC$_=$P意思決定問題と同値であることを示すために、量子振幅の性質および量子回路の構造に依存した証明を行っている。
• 量子クエリ複雑性の結果と量子状態振幅の構造を活用して、硬さの結果を確立している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子計算が非ゼロの受容確率を持つかどうかを決定することは、多項式階層に属する問題と同程度に難しいか？
• RQ2 量子複雑性クラスNQPと古典的カウントクラスcoC$_=$Pとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 特定の量子基底状態が重ね合わせ状態で非ゼロの振幅を持つかどうかを検出する問題は、既知の古典的複雑性クラスに還元可能か？
• RQ4 量子ビットの期待値は、量子計算検証の複雑性にどのように関係するか？

主な発見

• 量子計算が非ゼロの受容確率を持つかどうかを決定することは、多項式階層（PH）に対して難しい。
• 量子複雑性クラスNQPは、正確に古典的カウントクラスcoC$_=$Pに等しい。
• 特定の量子基底状態が重ね合わせ状態で非ゼロの振幅を持つかどうかを決定する問題は、coC$_=$P完全である。
• 与えられた量子ビットが量子計算終了時に正の期待値を持つかどうかを決定する問題も、coC$_=$P完全である。
• これらの結果は、量子計算の基本的性質の検証が、多項式階層に属する問題を解くのと同程度に計算的に難しいことを示唆している。