[論文レビュー] Deterministic Quantum Mechanics: the Mathematical Equations

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子系のハミルトニアンが離散的時間と有限状態を持つ古典的決定論的系（特にセルフオートマトン）と等価であるための数学的条件を導出することによって、量子力学の決定論的定式化を提案する。主な結果は、高エネルギー自由度を統合することで、非可換な観測量やボルン則を含む量子的性質が、非局所性や重力の必要がない非局所的相互作用から自然に出現することである。時間量子化と高速変数が、標準的な量子的特徴を実現する。

ABSTRACT

Without wasting time and effort on philosophical justifications and implications, we write down the conditions for the Hamiltonian of a quantum system for rendering it mathematically equivalent to a deterministic system. These are the equations to be considered. Special attention is given to the notion of 'locality'. Various examples are worked out, followed by a systematic procedure to generate classical evolution laws and quantum Hamiltonians that are exactly equivalent. What is new here is that we consider interactions, keeping them as general as we can. The quantum systems found, form a dense set if we limit ourselves to sufficiently low energy states. The class is discrete, just because the set of deterministic models containing a finite number of classical states, is discrete. In contrast with earlier suspicions, the gravitational force turns out not to be needed for this; it suffices that the classical system act at a time scale much smaller than the inverse of the maximum scattering energies considered.

研究の動機と目的

• 量子系のハミルトニアンが決定論的古典的系と等価であるための数学的条件を定式化すること。
• 非局所性や重力の必要がない、決定論的で局所的な力学から量子力学が出現することを示すこと。
• ユニタリティ、局所性、ボルン則を保つように扱われる相互作用を持つ枠組みを構築すること。
• 重ね合わせや非可換な観測量を含む標準的な量子形式主義が、高速変数を持つ決定論的モデルから自然に出現することを示すこと。
• 量子の不確実性が本質的な不確実性ではなく、高速で空間的に分離された自由度のタイミングを正確に測ることが不可能なことから生じることを確立すること。

提案手法

• オントロロジカル状態をヒルベルト空間内の正規直交基底ベクトルとして定義し、離散的で決定論的な配置を表す。
• 有限時間刻みδtを用いた離散的時間発展を導入することで、エネルギー固有値の周期性を確保し、有限次元の決定論的記述を可能にする。
• オントロロジカル状態上でユニタリな発展演算子として作用するハミルトニアンを構築し、それらの間の決定論的遷移を保証する。
• 「ふるい」状態|r⟩を導入し、望ましくない遷移を投影・抑制することで、相互作用強度をO(√E_max)まで低下させ、摂動的取り扱いを可能にする。
• 第二量子化を実装して因果律とハミルトニアンの正定値性を回復させ、ディラックの場の量子化を模倣するが、決定論的起源を持つ。
• 相互作用ハミルトニアンが光円錐外で可換であることを要求することで、局所性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的時間と有限状態を持つ決定論的古典的系が、重ね合わせやもつれを含む量子力学の完全な構造を再現できるか？
• RQ2 非可換な観測量とボルン則が、根本的に決定論的枠組みからどのように出現するか？
• RQ3 高速で高エネルギーの自由度は、低エネルギー有効理論における量子的性質をどのように維持するか？
• RQ4 決定論的で非局所的な基礎的力学から、量子場の理論における局所性をどのように回復できるか？
• RQ5 時間量子化がなされているにもかかわらず、なぜ標準的な量子形式主義が出現するのか？また、時間格子スケールの物理的意味は何か？

主な発見

• ハミルトニアンの固有値が周期的である場合、量子力学は決定論的系と数学的に等価になる。時間の離散化により、これは自然に達成される。
• 調和振動子は、円周上を周期的運動を行う決定論的系として出現し、古典的周期性と量子的調和運動の直接的な関係を確立する。
• 状態|ψ^(i)⟩が隣接するオントロロジカル状態のみに接続する場合、非可換な相互作用ハミルトニアンが自然に出現し、光円錐外での可換性が保たれることで局所性が維持される。
• 確率のボルン則は初期状態分布から出現する：確率の入力と出力が等しくなる。追加の公理は不要である。
• 高エネルギーモードは理論の量子的性質を損なわない。それらの効果は統合され、完全に量子的な低エネルギー有効理論が残る。
• 不確定性原理は根本的ではない。決定論的枠組みにおいて、高速で空間的に分離された変数のタイミングを正確に測ることが不可能なことから生じる。