[論文レビュー] Deterministic vs Non-deterministic Graph Property Testing

Lior Gishboliner, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Szemerédiの正則性補題を用いて、決定的かつ非決定的グラフ性質テストの等価性について、明示的かつ構成的証明を提供し、LovászとVesztergombiが提起した未解決問題を解決する。非決定的にテスト可能な性質が、明示的なクエリ複雑度を有する標準的テスト器を備えることを示すことで、クエリ複雑度の有効な上限を確立する。グラフ正則性と確率的彩色の議論を活用して、稠密グラフの認証可能な近似を構築する。

ABSTRACT

A graph property P is said to be testable if one can check if a graph is close or far from satisfying P using few random local inspections. Property P is said to be non-deterministically testable if one can supply a "certificate" to the fact that a graph satisfies P so that once the certificate is given its correctness can be tested. The notion of non-deterministic testing of graph properties was recently introduced by Lovasz and Vesztergombi, who proved that (somewhat surprisingly) a graph property is testable if and only if it is non-deterministically testable. Their proof used graph limits, and so it did not supply any explicit bounds. They thus asked if one can obtain a proof of their result which will supply such bounds. We answer their question positively by proving their result using Szemeredi's regularity lemma. An interesting aspect of our proof is that it highlights the fact that the regularity lemma can be interpreted as saying that all graphs can be approximated by finitely many "template" graphs.

研究の動機と目的

• LovászとVesztergombiが提起した、決定的および非決定的グラフ性質テストの等価性が、クエリ複雑度の明示的境界を伴って構成的に証明可能かどうかという未解決問題を解決すること。
• グラフ極限の代わりにSzemerédiの正則性補題を用いて、Lovász-Vesztergombiの特徴付け定理の別証明を与えること。
• 非決定的にテスト可能なすべてのグラフ性質が、明示的かつ有効なクエリ複雑度境界を有する標準的テスト器を備えることを示すこと。
• 正則性補題が、すべてのグラフが有限個の「テンプレート」としての色分けされたグラフで近似可能であるというテンプレートベースの近似を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 稠密グラフを、密度のずれを制御する$γ$-正則対の有界数に分解するためにSzemerédiの正則性補題を適用する。
• 確率的彩色技術を用いて、正則対に辺の色を割り当て、結果として得られる$k$-色グラフが、$\pm \gamma$の誤差内で所望の密度分布と一致するようにする。
• グラフの辺および非辺集合に対して$(k,m)$-彩色を構築し、各色クラスの密度が与えられた分布$\{\eta^\ell\}$から小さな誤差内で一致するようにする。
• 集中不等式（例：Chernoff型の境界）を用いて、大きな部分対における各色の密度が期待値から$\gamma/2$以内に偏る確率を高める。
• すべての大きな部分対および色に対して和集合の上限を適用し、高い確率で全体的な彩色の一貫性を保証する。
• $O(n^{3/2})$ステップでエッジの色を修正し、最終的な$k$-色グラフにおける正確なターゲット密度$\eta^\ell$を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的および非決定的グラフ性質テストの等価性は、クエリ複雑度の明示的境界を伴って証明可能か？
• RQ2 Szemerédiの正則性補題を用いて、非決定的にテスト可能なすべての性質が決定的にもテスト可能であることを構成的に証明できるか？
• RQ3 正則性パrameter $\gamma$ と所望の彩色精度を達成するために必要な頂点数との間の定量的関係は何か？
• RQ4 $k$-色グラフは、正則分割からどのようにして、所与の分布$\{\eta^\ell\}$から$\pm \gamma$の誤差内で色密度を一致させるように構築できるか？
• RQ5 近似的な密度を持つ正則分割を、サブ線形数のエッジ色変更を用いて、正確なターゲット密度を持つものに変換することは可能か？

主な発見

• 本稿は、非構成的グラフ極限の手法に代わり、Szemerédiの正則性補題を用いてLovász-Vesztergombiの定理の構成的証明を提供する。
• 非決定的にテスト可能な任意のグラフ性質が、$\epsilon$, $\gamma$, $k$ に依存する関数によって上限が与えられるクエリ複雑度を有する標準的テスト器を備えることが示された。
• 正則性補題は、すべてのグラフが有限個の「テンプレート」として近似可能であることを可能にする。各テンプレートは、所定の密度を有する$k$-色正則分割に対応する。
• 十分に大きな正則対において、エッジの確率的彩色は、高確率で所望の色密度分布を$\pm \gamma$の誤差内で達成する。
• 補正ステップにより、最終的な$k$-色グラフにおける正確なターゲット密度$\eta^\ell$を達成するために、高々$O(n^{3/2})$個のエッジの色を変更する。これにより、必要な正則性および密度条件を満たすグラフが得られる。
• この構成は、$n_{\text{chop2}}(\gamma,t,k) = t \cdot n_{\text{chop1}}(\gamma,k)$ 個以上の頂点を持つすべてのグラフに対して成功する。ここで、$n_{\text{chop1}}$ は$\gamma$ および $k$ に依存する。