[論文レビュー] Devinatz's moment problem: a description of all solutions

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、デイビンツのモーメント問題のすべての解を完全に特徴づける。この問題は、与えられた複素モーメント ${ s_{m,n} }$ に対して、ストリップ $Π = \{(x,\varphi) : x \in \mathbb{R}, -\pi \leq \varphi < \pi\}$ 上の非負のボレル測度 $\mu$ を求めるもので、$\int_{Π} x^m e^{in\varphi} d\mu = s_{m,n}$ を満たす。抽象的演算子理論的枠組みと一般化されたリゾルベントを用いて、解と上半平面における正則な作用素値関数の間の全単射対応を確立し、解集合と標準解を完全に記述する。

ABSTRACT

In this paper we study Devinatz's moment problem: to find a non-negative Borel measure $μ$ in a strip $Π= \{(x,ϕ):\ x\in \mathbb{R},\ -π\leq ϕ&lt; π\},$ such that $\int_Πx^m e^{inϕ} dμ= s_{m,n}$, $m\in \mathbb{Z}_+$, $n\in \mathbb{Z}$, where $\{s_{m,n}\}_{m\in \mathbb{Z}_+, n\in \mathbb{Z}}$ is a given sequence of complex numbers. We present a new proof of the Devinatz solvability criterion for this moment problem. We obtained a parameterization of all solutions of Devinatz's moment problem. We used an abstract operator approach and results of Godič, Lucenko and Shtraus.

研究の動機と目的

• デイビンツのモーメント問題の可解性基準を、抽象的演算子論を用いて再証明すること。
• スペクトル測度と一般化リゾルベントを用いて、モーメント問題のすべての標準解を記述すること。
• デイビンツのモーメント問題の解集合全体を完全に記述すること。
• 解と上半平面における正則な作用素値関数の間の全単射対応を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、可分ヒルベルト空間 $H$ 内の列 $\{x_{m,n}\}$ を用いるヒルベルト空間枠組みを採用し、$(x_{m,n}, x_{k,l})_H = s_{m+k,n-l}$ を満たすようにし、モーメント列が正定値行列を生成することを保証する。
• 彼らは、稠密部分空間 $L = \text{Lin}\{x_{m,n}\}$ 上で、$m$ と $n$ に関するシフトに対応する線形作用素 $A_0$ と $B_0$ を定義し、それらを閉じた対称作用素 $A$ と $B$ に拡張する。
• 解空間は、一般化リゾルベント $\mathbf{R}_\lambda = (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1}$ を用いて構成され、ここで $F(\lambda)$ は上半平面における正則な作用素値関数である。
• 作用素 $A$ のスペクトル測度 $\mathbf{E}$ は $F(\lambda)$ から構成され、測度 $\mu$ は $\mu = (\mathbf{E} \times F)x_{0,0}$ により回復される。ここで $F$ は $B$ のスペクトル測度である。
• 主な技術的道具は、Weyl-Titchmarsh の $M$-関数の使用であり、$F(\lambda)$ とリゾルベントの間の関係 $F(\lambda) = W^{-1}G(\lambda)WU_{2,4}$ を通じて、$G(\lambda) \in \mathbf{G}(A,B)$ と結びつける。
• 解集合が、$B$ のスペクトル射影と可換であり、値が収縮作用素である上半平面における正則な作用素値関数のクラス $\mathbf{G}(A,B)$ と全単射対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デイビンツのモーメント問題の解の存在に必要な十分な条件は、モーメント列 $\{s_{m,n}\}$ を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 演算子理論的枠組み内でのデイビンツモーメント問題のすべての標準解は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 デイビンツモーメント問題の解集合全体の完全な構造は何か？ また、そのパラメータ化はどのように行われるか？
• RQ4 $L^2_\mu$ におけるべき三角多項式の稠密性は、解の一意性とどのように関係するか？

主な発見

• 抽象的演算子論的アプローチを用いて、デイビンツのモーメント問題の可解性基準を再証明し、モーメント列 $\{s_{m,n}\}$ が正定値行列 $K((m,n),(k,l)) = s_{m+k,n-l}$ を生成する必要があることを示した。
• すべての標準解は、初期循環ベクトル $x_{0,0}$ が作用素 $A$ と $B$ に関して循環的不変部分空間を生成する場合に対応し、最小の共同関数的モデルにおいて $H_0 = \{0\}$ となることを意味する。
• すべての解の集合は、$B$ のスペクトル射影と可換であり、値が収縮作用素である上半平面における正則な作用素値関数 $G(\lambda)$ のクラス $\mathbf{G}(A,B)$ と全単射対応する。
• 解測度 $\mu$ は、作用素 $A$ のスペクトル測度 $\mathbf{E}$ と作用素 $B$ のスペクトル測度 $F$ から完全に再構成可能であり、$\mu = (\mathbf{E} \times F)x_{0,0}$ と表される。ここで $\mathbf{E}$ は一般化リゾルベント $\mathbf{R}_\lambda = (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1}$ を通じて得られる。
• べき三角多項式が $L^2_\mu$ で稠密であることは、解 $\mu$ が標準的である、すなわち、最小の関数的モデルが非自明な不変部分空間を含まずに実現されるときにかつそのときに限り成り立つ。
• 解集合は、上半平面における正則な作用素値関数 $F(\lambda)$ によって完全にパラメータ化可能であり、$BF(\lambda) = F(\lambda)B$ を満たし、スペクトル部分空間分解において値が収縮作用素である。