[논문 리뷰] Diameter computation on $H$-minor free graphs and graphs of bounded (distance) VC-dimension

Guillaume Ducoffe, Michel Habib외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 59인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 거리 VC-차원이 상수인 무방향 그래프의 지름을 진정으로 이차시간 이하로 계산하는 몬테카를로 알고리즘을 제시한다. 이는 에psilon-넷과 영역 분할을 통해 낮은 자르기 수를 가진 스패닝 경로를 활용하여 달성된다. 주요 기여는 지름이 k 이하인 경우 Õ(k·mn¹⁻εd) 시간에 작동하는 매개변수화된 알고리즘을 제공함으로써, 다항식 확장성을 가지며 어디에도 조밀하지 않은 그래프 및 H-미니처-프리 그래프 전반에 걸쳐 일반화된다는 점이다.

ABSTRACT

We propose to study unweighted graphs of constant distance VC-dimension as a broad generalization of many graph classes for which we can compute the diameter in truly subquadratic-time. In particular for any fixed $H$, the class of $H$-minor free graphs has distance VC-dimension at most $|V(H)|-1$. Our first main result is that on graphs of distance VC-dimension at most $d$, for any fixed $k$ we can either compute the diameter or conclude that it is larger than $k$ in time $ ilde{\cal O}(k\cdot mn^{1-\varepsilon_d})$, where $\varepsilon_d \in (0;1)$ only depends on $d$. Then as a byproduct of our approach, we get the first truly subquadratic-time algorithm for constant diameter computation on all the nowhere dense graph classes. Finally, we show how to remove the dependency on $k$ for any graph class that excludes a fixed graph $H$ as a minor. More generally, our techniques apply to any graph with constant distance VC-dimension and polynomial expansion. As a result for all such graphs one obtains a truly subquadratic-time algorithm for computing their diameter. Our approach is based on the work of Chazelle and Welzl who proved the existence of spanning paths with strongly sublinear stabbing number for every hypergraph of constant VC-dimension. We show how to compute such paths efficiently by combining the best known approximation algorithms for the stabbing number problem with a clever use of $\varepsilon$-nets, region decomposition and other partition techniques.

연구 동기 및 목표

• 이차시간 이하로 지름을 계산할 수 있는 넓은 그래프 클래스를 트리너비나 평면 그래프 이외의 영역으로 확장하는 것.
• SETH 하에 조건부 이차시간 하한을 해결하기 위해 거리 VC-차원이 상수인 그래프에 집중하는 것.
• 기존의 지름에 대한 이차시간 이하 알고리즘들을 기하학적 및 희박한 그래프 클래스로 일반화하여, 모든 어디에도 조밀하지 않은 그래프 및 H-미니처-프리 그래프를 포함하는 광범위한 클래스로 확장하는 것.
• 다항식 확장성과 함께 거리 VC-차원이 상수인 그래프에서 지름 매개변수 k에 대한 의존성을 제거하는 것.
• 에psilon-넷과 영역 분할과 같은 기하 기법이 비기하학적 그래프의 지름 계산에 효과적으로 적용 가능한지 확장하는 것.

제안 방법

• 거리 VC-차원이 상수인 하이퍼그래프에서 강력하게 부분선형 자르기 수를 가진 스패닝 경로의 존재에 기반한 새로운 알고리즘 프레임워크를 제안한다.
• Chazelle와 Welzl의 자르기 수 이론적 결과를 적용하여, 에psilon-넷과 계층적 클러스터링을 사용해 이러한 경로를 효율적으로 구성한다.
• 로컬 및 글로벌 거리 계산을 관리하기 위해 r-분할과 경계 정점 분석을 활용한 재귀적 클러스터링 전략을 사용한다.
• 영역 분할과 간격 커버링 기법을 사용하여 각 정점 u로부터 거리 2kᵢ₋₁ 이내에 있는 정점 집합을 스패닝 경로 상의 자른 간격을 통해 효율적으로 계산한다.
• 직교 범위 검색과 스패닝 경로 상의 동적 프로그래밍을 조합하여 각 정점당 근접선형 시간 내에 전구 이웃집합을 계산한다.
• 클러스터 크기 r과 클러스터 수 사이의 트레이드오프를 균형 잡는 것으로 실행 시간을 최적화하여, 거리 VC-차원이 상수일 경우 Õ(n²⁻εd) 시간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H-미니처-프리 그래프의 지름은 트리너비 이외의 구조적 성질을 활용해 진정으로 이차시간 이하로 계산할 수 있는가?
• RQ2 지름 계산의 처리 가능성에 대해 여러 희박한 그래프 클래스를 통합적으로 기술할 수 있는 그래프 매개변수(예: 거리 VC-차원)가 존재하는가?
• RQ3 다항식 확장성과 함께 거리 VC-차원이 상수인 그래프에서 지름 매개변수 k에 대한 의존성을 제거할 수 있는가?
• RQ4 에psilon-넷과 낮은 자르기 수를 가진 스패닝 경로와 같은 기하 기법이 비기하학적 그래프의 지름 계산에 효과적으로 일반화되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 가중치가 있는 그래프 또는 VC-차원이 유계가 아니지만 효율적인 지름 계산이 가능한 다른 그래프 가족으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 거리 VC-차원이 최대 d인 임의의 그래프에 대해, 이 논문은 몬테카를로 알고리즘을 제시하며, 지름을 계산하거나 지름이 k를 초과함을 Õ(k·mn¹⁻εd) 시간 내에 확인할 수 있다. 여기서 εd ∈ (0,1)은 d에만 의존한다.
• 이 알고리즘은 거리 VC-차원이 상수인 그래프에서 진정으로 이차시간 이하의 실행 시간을 달성하며, 이는 모든 H-미니처-프리 그래프와 어디에도 조밀하지 않은 그래프 클래스를 포함한다.
• 다항식 확장성과 함께 거리 VC-차원이 상수인 그래프에서는 k에 대한 의존성이 제거되어, 진정으로 이차시간 이하의 랜덤화 알고리즘을 통한 지름 계산이 가능해진다.
• 이 방법은 동일한 시간 복잡도를 갖는 반경 계산으로도 일반화된다.
• r = Θ(n^(εd/(2−β)))일 때 실행 시간이 Õ(n²⁻εd)로 최적화되며, β < 1 이므로 알고리즘이 진정으로 이차시간 이하임을 보여준다.
• 이 방법은 거리 VC-차원이 상수이고 강력하게 부분선형 균형 분리가 가능한 모든 그래프 클래스로 확장되며, 이는 유계 확장성 및 적절한 미니처-폐쇄 클래스를 포함한다.