[論文レビュー] Difference Equations in Massive Higher Order Calculations

Isabella Bierenbaum, J. Blümlein+2 more|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、深く非弾性散乱における重いフレーバー生成のための質量を伴う二ループのオペレータ行列要素に現れる、調和的級数およびその一般化を含む新しい種類の無限級数に対する体系的な解決策を提示する。著者らは記号的総和パッケージSigmaを用い、高次の差分方程式を解くことで、これらの級数の簡潔な解析的表現を導出し、クォークに質量を有する量子場理論における高次の精密計算を可能にする。

ABSTRACT

The calculation of massive 2--loop operator matrix elements, required for the higher order Wilson coefficients for heavy flavor production in deeply inelastic scattering, leads to new types of multiple infinite sums over harmonic sums and related functions, which depend on the Mellin parameter $N$. We report on the solution of these sums through higher order difference equations using the summation package { t Sigma}.

研究の動機と目的

• 質量を伴う高次の量子場理論計算に現れる、調和的級数および一般化関数を含む新しい種類の無限級数を評価するという課題に対処すること。
• 質量を伴うオペレータ行列要素の計算に生じる高次の差分方程式を解くために、高度な記号的総和技術を開発し、適用すること。
• 複雑なネストされた級数の閉形式解析的解を提供することにより、深く非弾性散乱における高次のウィルソン係数を精密に計算可能にする。
• Mellin変数$N$における調和的級数および有理関数を含む、従来解けなかった級数を解く際のSigmaパッケージの有効性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、$\Pi\Sigma$-差分体および創造的テレスコープに基づく高度なアルゴリズムを実装した記号的総和パッケージSigmaを用いる。
• テレスコープによる不定総和を適用し、個々の被加数に対して有理関数およびネストされた級数解を得ることで、恒等式のアルゴリズム的検証を保証する。
• 創造的テレスコープを用いて、$j$および$k$に関する二重級数の再帰関係を導出し、複雑な無限級数を解ける線形差分方程式に還元する。
• 再帰関係はSigmaの再帰方程式ソルバーを用いて記号的に解かれ、一般解が調和的級数および$\zeta$-値の形で得られる。
• 一般解における定数を固定するために初期条件を数値的に評価し、無限級数の閉形式表現が得られる。
• 既知の恒等式との比較および$a, b \to \infty$における収束挙動の検証により、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量を伴う高次の量子場理論計算において、Mellin変数$N$における調和的級数および有理関数を含む新しい種類の無限級数を体系的にどのように解けるか。
• RQ2 二ループ質量を伴うオペレータ行列要素に生じる高次の差分方程式を解くために、どのような記号的総和技術が有効か。
• RQ3 標準的な調和的級数形式に還元できない級数に対し、Sigmaパッケージを用いて簡潔な解析的表現を導出できるか。
• RQ4 これらの級数から導かれる再帰関係の非同次項の構造は何か。また、$\zeta$-値および調和的級数積とどのように関係しているか。

主な発見

• 級数$\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}f_{0}(N,k,j)$は$\frac{S_{1}(N)^2 + 3S_{2}(N)}{2N(N+1)!}$として評価され、$\epsilon$-展開の線形項における重要な二重級数の閉形式解が得られた。
• 線形項$\epsilon$は$\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}f_{1}(N,k,j) = \frac{-S_{1}(N)^3 - 3S_{2}(N)S_{1}(N) - 8S_{3}(N)}{6N(N+1)!}$として得られ、立方調和的級数構造を扱えることの証明となった。
• 級数$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{B(N,i)}{i}S_{1}(i+N)^2$の結果は$\frac{17}{10}\zeta_2^2 + 4S_1(N)\zeta_3 + 2S_{-2}(N)\zeta_2 + S_1(N)^2\zeta_2 - 3S_4(N) + 2S_{-2}(N)^2 - 4S_1(N)S_3(N) - S_1(N)^2S_2(N) + \frac{S_1(N)^2}{N^2} + \frac{2S_1(N)}{N^3} + \frac{2}{N^4} - (-1)^N\frac{2S_{-2}(N) + \zeta_2}{N^2}$となり、交 alternating および非 alternating 項を含む級数に対しても有効であることが示された。
• これらの級数に対して導かれた再帰関係は最大4次のものであり、非同次項は深さ2までの調和的級数、$\zeta$-値、および$N$に関する多項式のみで表現されており、手法の構造的整合性が確認された。