[論文レビュー] Differences in tension and compression in the nonlinearly elastic bending of beams

Michel Destrade, Jeremiah G. Murphy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2009

Elasticity and Material Modeling参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、引張と圧縮応答が異なる材料を二相弾性体としてモデル化し、非線形なバネの曲げ挙動を調査する。Mooney-Rivlinおよび三次の弾性モデルを用いて、引張・圧縮非対称性に起因する変形を記述する立方方程式を導出する。その結果、中立軸における応力不連続性は小さいものの、繰り返し曲げに起因する累積的損傷に寄与する可能性があることが示され、天然ラバの実験データによって裏付けられている。

ABSTRACT

The classical flexure problem of non-linear incompressible elasticity is revisited for elastic materials whose mechanical response is different in tension and compression---the so-called bimodular materials. The flexure problem is chosen to investigate this response since the two regions, one of tension and one of compression, can be identified easily using simple intuition. Two distinct problems are considered: the first is where the stress is assumed continuous across the boundary of the two regions, which assumption has a sound physical basis. The second problem considered is more speculative: it is where discontinuities of stress are allowed. It is shown that such discontinuities are necessarily small for many applications, but might nonetheless provide an explanation for the damage incurred by repeated flexure. Some experimental evidence of the possibility of bimodularity in elastomers is also presented.

研究の動機と目的

• . 引張と圧縮応答が異なるビームの非線形曲げ挙動を分析すること。
• . Mooney-Rivlinのひずみエネルギー関数と三次の弾性近似を用いて、二相弾性体材料をモデル化すること。
• . 曲げにおける中立軸を挟んで応力が連続か不連続かという物理的意味を検討すること。
• . 中立軸における小さな応力ジャンプが、繰り返し曲げによる進行的損傷を説明できるかを評価すること。
• . 公開された応力-ひずみデータを用いて、天然ラバにおける二相弾性の実験的証拠を提供すること。

提案手法

• . 圧縮不変性、等方的、非線形弾性を特徴とする古典的曲げ問題をフレームワークとして用いる。
• . 引張・圧縮応答の差を表現するために、Mooney-Rivlinのひずみエネルギー関数とその三次近似を適用する。
• . 内半径の伸び比 λa に関する立方方程式を導出する。ここに含まれる剪断率比 ˆµ = µ+/µ− は、材料非対称性の影響を明示する。
• . 二相弾性体に対しても、古典的曲げ解と同一の変形形状を仮定することで、材料非対称性の影響を明確に分離する。
• . 線形化されたひずみエネルギーを用いて応力不連続性 ∆T の大きさを推定し、(µ−−µ+) と小さなひずみ項 √(ϵ²+1)−1 に比例することを示す。
• . 理論的予測を Bechir ら [12] の実験データと比較し、天然ラバにおける二相弾性挙動を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 材料応答における引張・圧縮非対称性は、ビームの非線形曲げ挙動にどのように影響するか？
• RQ2 . 二相弾性ビーム曲げにおいて、中立軸を挟んで応力が連続であると仮定するか、不連続であると仮定するかが、結果に与える影響は何か？
• RQ3 . 中立軸における小さな応力ジャンプが、超弾性材料の繰り返し曲げによる進行的損傷を説明できるか？
• RQ4 . エラスマー（例えば天然ラバ）における二相弾性の実験的証拠は何か？
• RQ5 . 引張と圧縮における剪断率比 ˆµ が、曲げられたビームの変形および応力分布に与える影響は何か？

主な発見

• . 二相弾性ビームの曲げ変形は、伸び比 λa と剪断率比 ˆµ を含む立方方程式によって支配される。
• . ˆµ = 1 の場合、解は古典的曲げ解に還元され、標準的弾性理論と整合性が確認される。
• . ˆµ → 0（圧縮剛性が極めて高い）の極限では λa → 1 となり、曲げが不可能であることが示され、直感的な期待と一致する。
• . 中立軸をはさんで生じる応力不連続性 ∆T は (µ−−µ+) に比例し、小さな項 √(ϵ²+1)−1 とも比例するため、常に小さいが非ゼロの値をとる。
• . モデルは、ビームのアスペクト比や曲げ角度が大きくなるほど、引張・圧縮非対称性の影響が顕著になることを予測する。
• . 天然ラバの実験データは、圧縮応答が引張応答よりも剛性であることを示しており、エラスマーにおける二相弾性の存在を支持する。