[論文レビュー] Different versions of mapping class groups of surfaces

Søren Kjærgaard Boldsen|ArXiv.org|Aug 16, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、球面、円板、シリンダー、メビウスの輪、トーラス、クラインのボトル、実射影平面を除く、コンパクトで非自明な曲面に対して、微分同相、位相同相、ホモトピー同値による定義された写像類群が同型であることを自己完結的に証明する。主な結果は、微分同相、位相同相、ホモトピー同値の空間の基本群がすべて等価であることを示しており、これは、滑らかさ、位相的性、ホモトピー的性のいずれのカテゴリーを選んでも、これらのケースにおいて写像類群に影響がないことを確認する。

ABSTRACT

We give a short, mostly elementary and self-contained proof of the classical result that the groups of diffeomorphisms, homeomorphisms, and homotopy equivalences of a surface have the same group of connected components.

研究の動機と目的

• コンパクト曲面上での微分同相、位相同相、ホモトピー同値によって定義される写像類群の等価性を確立すること。
• 特異な曲面が存在しない状況において、異なるマップのカテゴリーが同型な写像類群をもたらすかどうかという基礎的問題を解決すること。
• 微分同相、位相同相、ホモトピー同値群のパス成分間の双対性を自己完結的かつ厳密に証明すること。
• 写像類群の向きを保つ版および境界を保存する版への結果の拡張。
• 標準的な写像類群の定義（向きを保つ微分同相群をホモトピーによる同値関係で割った群）が、カテゴリーに依存せず一貫していることを確認すること。

提案手法

• 境界および曲線のコラール近傍における、微分同相と位相同相を結ぶために、ホモトピー同値の理論とホモトピー拡張定理を用いる。
• Lemma 2.2 を適用して、単位元にホモトープな円の微分同相の滑らかなホモトピーを構成し、微分同相の構造を保つ。
• コラール近傍の議論を用いて、円板上のホモトピー同値を、チューブ座標とバンプ関数を用いて微分同相にホモトープに変形する。
• スメイルの定理（円板の微分同相に関するもの）を適用し、ペア・オブ・パンツ分解から得られる円板上での写像を、アイソトピーによって単位元に変形する。
• 曲面およびその境界の微分同相群を含むファイブレーション系列を用いて、微分同相群と位相同相群のホモトピー型を比較する。
• ファイブレーションのホモトピー群の長完全系列に対して5-補題を適用し、微分同相群のパス成分から位相同相群のパス成分への写像の上への性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異でない曲面に対して、コンパクト曲面の微分同相、位相同相、ホモトピー同値群のパス成分は同型か？
• RQ2 微分同相、位相同相、ホモトピー同値によって定義された写像類群は、変化しないか？
• RQ3 境界を保存し、コラール近傍で滑らかであるホモトピーを用いて、曲面上のホモトピー同値を微分同相にホモトープに変形できるか？
• RQ4 境界を保存する微分同相群の包含写像は、パス成分上で上への写像を誘導するか？
• RQ5 向きを保つ条件は、異なるカテゴリー間での写像類群の同型性と可換か？

主な発見

• 球面、円板、シリンダー、メビウスの輪、トーラス、クラインのボトル、実射影平面とは位相的に同相でないコンパクト曲面に対して、微分同相、位相同相、ホモトピー同値群のパス成分はすべて同型である。
• 微分同相群のパス成分からホモトピー同値群のパス成分への写像は、全単射である（すなわち、全射かつ単射）。
• 境界を保存する微分同相群の包含写像は、パス成分上で上への写像を誘導する。これは、ファイブレーションの長完全系列に対する5-補題の適用により証明される。
• 向きを保つ部分群に対しても同様の同型が成り立ち、標準的な写像類群の定義（π₀(Diff₊(F, ∂F))）がカテゴリーに依存しないことが確認される。
• 境界上で恒等写像であると仮定しても、結果は成り立つ。これは Corollary 4.8 で示されている。
• 証明は、ホモトピー的に恒等写像に同値な位相同相が、アイソトピー的にも恒等写像に同値であるというエプスタインの定理に依存しており、これは位相的状況における単射性を保証する。